[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] Felicidades a todos los que han llegado hasta aquí. Estamos empezando la última unidad del curso de álgebra básica con el tema de ecuación de segundo grado. En las unidades anteriores hemos visto mucha manipulación de expresiones algebráicas, en particular de polinomios y vimos una sección acerca de factorización de polinomios y de productos notables. Todo eso vamos a ver cómo aquí va a rendir frutos el haber aprendido esas técnicas. Lo que vamos a hacer ahora es resolver ecuaciones de segundo grado. Vamos a empezar con un ejemplo. Tengo la ecuación x cuadrada + 5x + 6 = 0 y quiero resolverla. ¿Qué significa resolver la ecuación? Pues quiero encontrar los valores de x, los números reales x que al sustituirlos en la x cuadrada y en esta x de aquí, se satisfaga la igualdad, o sea que el lado izquierdo sea igual a 0 lo mismo que el lado derecho. Para resolver esta ecuación nos damos cuenta que el lado izquierdo se puede factorizar como x + 2 por x + 3. Recordemos que para factorizar un trinomio buscamos dos números que multiplicados nos den el término independiente, o sea 6 y que sumados nos den el coeficiente de x, o sea 5. Esos 2 números son el 2 y el 3, 2 por 3 = 6, y 2 + 3 = 5. Una vez que tenemos factorizado el polinomio, lo que tenemos es que esto es un producto de 2 números, que dan 0 y la única manera en que el producto de 2 números sea 0 es que alguno de ellos o los 2 sean 0. Y así que puedo plantear 2 ecuaciones de primer grado, que x + 2 sea 0 y que x + 3 sea 0. Estas son las 2 ecuaciones que tengo y ahora, pues ya cada una de estas es inmediato, x + 2 igual a 0 pues significa que x es igual a -2, y x + 3 igual a 0 significa que x es igual a -3. Y estas son las soluciones de la ecuación original. Puedo sustituir aquí, digamos si sustituyo x igual a -2, obtengo, vamos a hacerlo en este pedacito, -2 al cuadrado + 5 por -2 + 6, esto es -2 al cuadrado es 4 -10 + 6 y esto es igual a 0. Y si sustituimos la x por -3, también vamos a obtener lo mismo, veamos, -3 al cuadrado + 5 por -3 + 6, esto ¿cuánto vale?, 3 por 3 son 9 menos 15 + 6 y esto nuevamente es 0. Es decir estos dos números son los números que al sustituirlos en la x de la ecuación original, satisfacen la igualdad propuesta por la ecuación. Esto es lo que significa entonces resolver una ecuación de segundo grado. En general esto es lo que hacemos, ¿no? recordamos que x + a por x + b es x cuadrada, si multiplicamos directamente, es x cuadrada + a + b por x + ab, y esta es la razón por la cual cuando factorizamos x cuadrada + bx + c, lo que hacemos es buscar dos números cuyo producto sea c, y cuya suma sea b, para poder tener, para que se satisfaga esta relación de acá arriba. Entonces cuando tengamos una ecuación de segundo grado de la forma ya simplificada, de la forma x cuadrada + bx + c, y b y c sean enteros, lo que podemos hacer es intentar factorizar utilizando esta técnica, buscar 2 números que multiplicados me den c y que sumados me den b. Bueno entonces vamos a resolver un par de ejemplos. Consideramos la ecuación x cuadrada + 7x + 12 = 0. Estamos buscando dos números que multiplicados me den 12 y sumados me den 7. Me conviene poner algo así como guardar los espacios donde voy a escribir esos números. Entonces los números que multiplicados dan 12 y sumados dan 7 son el 4 y el 3, 4 por 3 son 12 y 4 + 3 son 7. Entonces los pongo aquí, y ya está factorizado el x cuadrada + 7x + 12. Nuevamente, este producto es 0 solamente cuando alguno de los 2 factores sea 0, y entonces obtengo que x + 4 es 0 o x + 3 es 0. Y obtengo la solución x = -4 y la solución x = -3. Al sustituir -4 y -3 en esta ecuación obtengo la igualdad. Si verificamos, es -4 al cuadrado + 7 por -4 + 12, esto es 16- 28 + 12 = 0. Y de este lado si sustituimos el -3 en la ecuación, obtenemos -3 al cuadrado + 7 por -3 + 12 y esto es 9 - 21 + 12 y es otra vez igual a 0. Entonces efectivamente nuestra solución es correcta. Otro ejemplo, tomemos ahora x cuadrada + x- 30 igual a 0. Nuevamente estamos buscando un par de números que multiplicados nos den, fíjense ahora es- 30 y sumados den 1, aquí hay un 1. Entonces dos números que multiplicados den -30 y sumados den 1. Si el producto es negativo, quiere decir que esos números tienen que tener diferente signo, uno va a ser positivo y uno va a ser negativo. Y el hecho de que el coeficiente de x sea positivo, quiere decir que en tamaño digamos el número positivo es más grande que el número negativo. Dichos números son el -5 y el 6. Sí, 5 por 6 30, con este menos es -30 y -5 + 6 es 1. Nuevamente, ya que está factorizado, obtenemos que x es igual a 5 o x es igual a -6. Entonces estas son las 2 soluciones de la ecuación, que podemos verificar como antes, 5 al cuadrado + 5 -30, esto es 25 + 5 -30, efectivamente vale 0. Y -6 al cuadrado + -6 -30, esto ¿cuánto vale? son 36 menos 6 menos 30, efectivamente vale 0. ¿Va bien? Entonces esa es la idea, siempre es dos números que multiplicados me den el término independiente y sumados me den el coeficiente de x. Va un ejemplo más, resolver esta ecuación, la quiero factorizar. Entonces nuevamente tengo que buscar dos números que multiplicados den 48 y sumados den -14. Si nos fijamos en el signo, el hecho de que aquí haya un +, significa que los dos números van a tener el mismo signo, o los dos positivos o los dos negativos. Pero el hecho de que este sea un -, quiere decir que los 2 números van a tener que ser negativos, ya que si los dos fueran positivos la suma sería positiva. Entonces de hecho ya con esto adelantamos un poco, estoy buscando dos números negativos cuyo producto sea 48 y cuya suma sea -14. Puedo intentar, no siempre me sale a la primera, tengo a veces que intentar varias veces. Por ejemplo puedo pensar en que 48 es 12 por 4, entonces si pusiera yo -12 y -4, el producto sí me da -48 pero la suma me da -16 y yo necesito -14, entonces este no sirve. Entonces otra opción son -6 y -8, 6 por 8, 48 y -6 y -8 sí es -14. Entonces estos son los números correctos. Entonces una vez factorizado el polinomio, pues tengo que las soluciones son x igual a 6 y x igual a 8. Ya no voy a hacer la, les dejo de ejercicio que sustituyan el 6 y el 8 en la ecuación original y vean que efectivamente da 0. En todos estos ejercicios hemos visto que hemos encontrado 2 soluciones a la ecuación, a la ecuación cuadrática. Esto no siempre es cierto y vamos a verlo con otros ejemplos y con la, y vamos a verlo con la interpretación geométrica de la ecuación de segundo grado. [MÚSICA] [MÚSICA]
