Merhaba! Dersimizin sonuna çok yaklaştık. Bir şöyle gözden geçirelim şimdiye kadar gördüğümüz konuları ve özellikle bu bölüm 17'de, bu 6. haftamızın konusu daha önce gördüğümüz konulardan hangilerinin bir altyapı oluşturduğunu görelim. Gerçekten de bu 17. bölüm bir sentez şimdiye kadar konulardan şöyle hatırlarsak bir kere düzlemde 2 katlı entegralleri gördük. Kartezyen ve dairesel koordinatlarda olmak üzere. Gradyan, diverjans, rotasyonel ve laplasyeni gördük. Ayrıca bunları kullanarak, özellikle laplasyeni kullanarak doğanın temel denklemlerini kısmi denklemler kısmi türevli diferansiyel denklemler olarak dalga denklemi ısı iletimi ve laplas denklemleri olarak gördük. Uzayda yüzeyler üzerine entegraller almayı öğrendik. Gene uzayda hacim entegralleri almayı öğrendik. Bunu kartezyen, silindir koordinatları ve küre koordinatları ile yapmayı gördük. Epeyce de deneyim kazandık. Son olarak da, son bitirdiğimiz bölümde düzlemde çizgiler boyunca entegralleri gördük. Ve özellikle de green teoremlerini gördük, yani kapalı bir çevrim üzerinde green teoremlerini gördük. BU 17. bölüm bütün bu konulardan kullanıyor. Hepsinin iyi bir sentezi. Bu iyi de bir fırsat çünkü bütün bu konuları gözden geçirmemiz için iyi bir ortam yaratıyor. Biraz daha ayrıntılı olarak göreceğimiz konulara bakalım. Burada esas yapacağımız iş 16. bölümde düzlemdeki akımları ve kapalı eğriler boyunca yani çevrimler boyunca green teoremlerini gördük, burada ise daha gerçekçi bir uzaya 3 boyuta genelleyeceğiz. Bu green teoremlerinden stokes ve green gauss teoremlerine geçişi göreceğiz. Biraz daha açarsak bu konuları 16. bölümde gördüğümüz düzlemdeki çizgiler boyunca entegrallerden uzaydaki çizgiler boyunca entegrallere geçişi göreceğiz. Düzlemdeki green teoremlerinden uzaydaki stokes ve green teoremlerine geçişi sağlayacağız. Ve bu yeni elde edeceğimiz uzaydaki 3 boyutlu uzaydaki stokes ve green teoremleriyle, green gauss teoremleriyle uygulamalar yapacağız ve epeyce de çözümlü problemler göreceğiz çünkü böylece hem yüzeyler üzerindeki entegraller hem de hacimler üzerindeki entegralleri göreceğiz hemen kısa bir süre içinde göreceğiz, diverjans ve rotasyonel işin içine giriyor. Laplasyen de hemen bunu izleyerek geliyor ve böylece diverjans, rotasyonel ve laplasyenin anlamını da matematiksel formülün ötesinde kavrayacağız. Gradyanı zaten gördük, gradyan eğimi ölçen bir büyüklüktü ama diverjans, rotasyonel ve laplasyeni daha açık anlamaya çalışacağız. Son ölümde de bu biraz kültürel boyutu da var hem de bu bütün bu öğrendiğimiz araçların doğadaki, klasik fizikteki temel korunum yasalarına nasıl uygulanacağını göreceğiz. Temel yasalar şöyle, korunum yasaları: Sayısal büyüklüklerin korunumu var. Bunlar, kütle elektrik yükü, ısı enerjisi gibi. . Vektörel büyüklüklerin korunumu var. Mesela ısı akımı, momentum, elektrik ve manyetik alan ve bunları göreceğimiz gibi çok kısa bir sürede hepsini aynı yapı içinde çıkarabileceğiz. Bunun bir kültürel boyutu var hem de doğayı anlamak için hem de bütün bu öğrendiğimiz araçların çok güzel bir uygulamalarını göreceğiz ve bunlardan sürekli ortamlar mekaniğini yani katı cisimler, sıvılar ve gazların mekaniğin temel denklemlerinin nasıl basit bir şekilde çıktığını göreceğiz. Isı iletimi denklemi için keza çok basit bir şekilde ısı iletiminin çıkacağını göreceğiz ve elektro manyetizmanın da ana denklemlerini görmüş olacağız. Bütün bunlarda bir matematik boyutu var.Bütün bu araçları kullanacağız, özellikle stokes teoremini,, green gauss teoremlerini ama her zaman da bir doğa kanununa uygulama olacak mesela kütlenin korunduğunu varsayıyoruz. Klasik fizikte kütle korunuyor hakikaten. Elektrik yükünün korunduğunu, ısı enerjisinin korunduğunu, momentumun korunduğunu, elektrik ve manyetik alanların çeşitli yapıları verilerek korunumlarını kullanarak bu ana denklemleri de çıkaracağız. Şimdi bu ilerleme haritamız ve edindiğimiz altyapılar açısından hemen şu 2 boyuttan 3 boyuta geçişi sağlayalım. Şimdiye kadar 16. bölümde bir önceki bölümde 5. haftanın derslerinde biz x ve y ile tanımlanan ve 2 bileşeni u ve v bileşeni olan vektörleri gördük. Bu vektörlerin, vektör alanları da dedik, bu vektörleri şimdi x, y, z ile tanımlana ve u, v, w 3 tane bileşeni olan vektörlere genişleteceğiz, bu oldukça kolay. u ve v'nin olduğu yere bir w getireceğiz x ve y'nin olduğu yere de bir z getireceğiz. Burada hemen çizgiler boyunca ve çizgilere dik akımların nasıl 3 boyuta genellendiğini görelim. Yay uzunluğu önemli bir rol oynuyordu. 2 bileşen de parametrik olarak verildiği zaman eğri, x, t'nin fonksiyonu ,y, t'nin fonksiyonu olarak ds yay uzunluğunu, x'in t'ye göre türevinin karesi artı y'nin t'ye göre türevinin karesi ve dt ile çarpımı olarak görmüştük. Bunun 3 boyuta genellemesi fevkalade basit zaten bunu pitagor veyahut söyleşinize göre pisagor teoreminin bir üçgenin hipotenüsünün bulunması kuralına göre elde etmiştik. 3 değişkenli durumda da bu xy'lerin yanına bir de z'yi getiriyoruz. ds zaten x vektörünün türevinin mutlak değerinin bir dt ile çarpılması veyahut bir başka bakışla dt'leri burada sadeleştirdiğinizi düşünürseniz, ds yay uzunluğu yay, eğri boyunca ilerlerken ki elde ettiğimiz kirişin uzunluğundan elde ediliyordu. O kiriş de dx bir yönde dy, bir yönde gittiğiniz zaman hipotenüsün uzunluğuydu. Bunları hemen hatırlayacaksınız. Şimdi biz bu ds'yi bulduktan sonra 2 tür entegralle çalıştık. Bir tanesi bir düzlemdeki eğri boyunca teğet ve bu teğete dik vektör var. Verilen bir vektör alanının herhangi bir noktada t üzerine izdüşümü veya n üzerine izdüşümünü aldık ve bu t ve n'nin boyları da birim vektörler olduğu için bu izdüşümü verilen vektörün t ile iç çarpımı veya n ile iç çarpımından elde ettik ve bunların bu eğri boyunca ki toplamı bize bu entegrali verdi. Demek ki 2 tür entegral vardı. ut'nin ds ile çarpılmışının entegrali veya un'nin ds ile çarpılmışının entegrali. 3 boyuta geldiğimiz zaman gene çok büyük bir değişiklik yok. Özellikle teğet boyunda ki izdüşümde. Gene bir eğri alıyoruz. Bu sefer uzayda. Uzayda 3 bileşenle burada genellediğimiz şekilde u vektörü var. Bu uzay eğrisinin teğet vektörünü alıyoruz ve u'nun bunun üzerine birim teğet üzerine izdüşümünü alıyoruz ve bunun eğri üzerindeki toplamını elde ediyoruz. Burada 2 boyuttan 3 boyuta geçiş gayet düpedüz bir geçiş ama dik üzerine geçiş pek o kadar hemen burada yaptığımızın aynısını alalım denebilecek gibi değil çünkü her ne kadar bir uzay eğrisinde teğet tek tanımlıysa da bu teğete dik sonsuz tane dik vektör vardır. Düzlemde 2 tane var. Biri bu yönde gelen biri buna ter yönde olan ama uzayda aldığımız zaman bir teğete dik gelen düzlem içndeki bütün vektörler diktir. O zaman nasıl yapacağız, bu genişliği. Bu genişleme şöyle yapılıyor. Demek ki, uzayda dik vektör eğirinin dik vektörünü tanımlamak mümkün değil. Burada bu bir uzaydaki düzeyin dik vektörü ile çalışmamız gerekecek. Düzlemde şöyle diyorduk, bir eğri var. Bu eğrinin bir tarafından diğer tarafına geçişi, mesela madde geçişi, osmosla diyelim veyahut ısı iletimi bu dik vektörle çözümlüyor. Ama uzaya geldiğimiz zaman uzayda bir taraftan diğer tarafa geçişi tanımlayan sınır bir yüzey olabilir ancak. Onun için burada bir farklıcalık oluşuyor. Bir yüzeyin birim dik vektörünü alıyoruz. Bu birim dik vektörü üzerine bu artık tek olarak tanımlı, çünkü dik vektörü bu yüzeyin denkleminin örneğin kapalı gösterimine verilen fonksiyonun radiyanından bulunduğunu hemen biliyoruz. Bunu da birim boya getirdiğimiz zaman küçük n vektörünü buluyoruz. Uzaydaki U vektörünün, bu yüzeyin dik vektörüne izdüşümünü alıyoruz. Ve bunun da artık bir bir çizgi üzerine değil bir alan üzerine birikimine, toplamına bakmak lazım. Bir ısı akımını düşünürseniz, yüzeyle verilen sınırın bir tarafından diğer tarafına geçiş olarak bunu yüzeyin birim dik vektörü üzerine izdüşüm alarak, ve bunun toplamını alan üzerine entegral, yüzeyin alanı üzerine integralle bulabiliyoruz. Şimdi bunları biraz daha açalım. Düzlemdeki çizgi boyunca, ve çizgiyi dik entegraller hesaplıyorduk, U ile T'nin çarpımı D S üzerine entegrali veya U ile N'nin çarpımının D S üzerine entegrali. T kere D S'nin D X DY olduğunu görmüştük, dolayısıyla bu entegral, düzlemdeki eğri üzerindeki entegral, bu çarpımı U'nun bileşenlerinin U ve V olduğunu düşünürsek, U ile DX'in çarpımı V ile D DY'nin çarpımına eşdeğer geliyor, bu entegral. Bunu defalarca da gördük, birinci gösterim işin fiziğini geometrisini gayet güzel anlatıyor. Fakat bundan hesap yapmak pek kolay değil. Ama bu gösterim, T kere DS'yi ile DX ve DY ile göstererek elde ettiğimiz bu gösterim, bu entegral, bu çizgisel entegral hesap yapmaya daha uygun. Uzayda da bunun aynısı U ile T'nin çarpımı var DS üzerine entegrali buradaki tek fark U'nun iki tane değil üç tane bilşeni var U V, W, T kere DS'de aynen bu iki bileşenle DX DY'e yanısıra bir de DZ geliyor. Bunları yerine koyunca gördüğünüz gibi iki bileşen üzerine entegral yerine üç bileşen üzerine entegral yapıyoruz. N'ye geldiğimiz zaman artık bunu biraz evvel de konuştuk bir N eğrinin dik vektörüydü. Uzayda ise bir yüzeyin dik vektörünün üzerindeki birikimi alacağız, gene çok benzer U ile N'nin iç çarpımını alıyoruz yay üzerine entegre ediyoruz burada ise U ile yüzeyin dik vektörünü çarpıyoruz. Ama buradaki U vektörü, hem U V W bileşenleri var hem de X Y ve Z'ye bağlı. Halbuki burada sadece U ve V bileşenleri var ve X ve Y'ye bağlı bir de yay uzunluğuna değil, alan uzunluğu, alan büyüklüğü üzerine entegreli hesap ediyoruz. Burada, düzlemdeki eğrilerin birim vektörünü büyük N ile gösteriyorduk. Burada küçük n ile gösteriyoruz, hep buna da daha önce alıştık. Demek ki, bu çeşit bir sınırın ötesine taşınmalarda iletimlerde kütle olabilir elektrik alanı olabilir, ısı iletimi olabilir. Bunları alan üzerine entegre ediyoruz. Burada önemli bir farklılık oluştu ama hesaplar olarak da çok büyük fark değil, ama gene de burada bir eğri üzerine entegral yerine bir yüzey üzerime entegrale geliyor. Gene biz düzlemdeki eğrilerde U DX artı D V kere D'ye entegrelde yörüngeden bağımsız olmayı önemli bir konu olarak ele almıştık. Ve eğer buranın bir potansiyeli varsa yani, F'nin X'e göre türevinden U Y'ye göre türevinden V üretilebilen tarzda bir F varsa, buna, bu F'ye potansiyel diyorduk, bu potansiyelin her zaman olmadığını biliyoruz ve temel koşulunun da UX eğittir VY olduğunu gördük. Bu temel koşulumuzdu. Bu koşul sağlanıyorsa, yani bu U ve V rastgele vektörler vektör bileşenleri değil de bu özelliği sağlıyorsa, o zaman bir potansiyel vardı ve bu yörüngede bağımsız oluyordu bu entegralin değeri. Çünkü buradaki UDX artı VDY'e bir DF olarak bir tam diferansiyel oluyordu, bunu hemen bir önceki bölümde defalarca gördük. Uzayda çok benzer bu UDX artı VDY yerine bir de W kere DZ geliyor. Bunun yörüngeden bağımsız olması gene bir böyle bir potansiyelin var olmasına bağlı. Eğer böyle bir potansiyel varsa da, daha önce de gördük U gradiyan F ise bunun rotasyonelini alınca özdeş olarak sıfır çıkar. Demek ki, buradaki koşul yerine UY eşittir VX yani birinci bileşenin ikinci değişkene göre türevi bu çapraz geliyor, ikinci bileşenin de birinci değişkene göre türevlerinin olması koşulu yerine rotasyonelinin sıfır olması geliyor. Bu rotasyoneli de hesap edersek buradaki koşul ortaya gene korunuyor fakat bunun yanı sıra bu iki koşul daha geliyor. Bu durumda bir F vardır. Bu F'nin de gradyanı bize bu U vektörünü verir. Ve bu entegralde de bir DF tam türev olur, ve bu tam türevde de aynı bu tek düzlemdeki durum gibi, bu F potansiyelinin A'da ve B'deki değerleri hesaplanarak bulunur bu entegralin değeri, ve entegral yörüngeden bağımsız olur. Tabii ki uzayda bir A noktasından bir B noktasına sonsuz tane yörüngeden gidebilirsiniz, bunu düzlemde de gördük düzlemdekinin çok basit bir genellemesi. Bunun yörüngeden bağımsızlığını bu şekilde belirliyoruz. Örnekler yaptıkça daha somutlaşacak. Ve eğer yörüngeden bağımsız ise, böye bir F varsa, yani A ile B bir yerden başlıyorsunuz, bir A noktasından dönüp dolaşıp tekrar o A'ya geliyorsanız B ile A aynı noktaya varacağı için bu fonksiyonda sürekli ve tek değerli olacağı için, tam diferansiyel olduğundan dolayı bu çevrim üzerindeki, her hangi bir çevrim üzerindeki entegral sıfır olur. Ve bu çeşit alanlara da düzlemde de söylendiği gibi korunmalı veya batı dillerindeki gibi konservatif alan veya korunan alan denir, düzlemdekinden basit bir genelleme bu noktada tekrar bunu vurguluyoruz. VX eşittir UY yeter ve gerek koşulluluğuydu, bu üç boyutta bunun genellemesi rotasyonelin sıfır olmasına geliyor. Buradan şöyle bir yere de varıyoruz, diferansiyel hesabının ikinci temel teoremini hatırlayacaksınız bir fonksiyonun türevini alsanız ondan sonra da entegralini alsanız, bu bir tam diferansiyel verir yani bu DX'leri simgesel olarak sadeleştirin, bu entegralde DF'nin entegrali de F olduğu için bunun A'daki ve B'deki değerlerinin farklarına varırız. İki değişkende şuna varmıştık. Eğer u bir f nin gradyanından elde ediliyorsa demek ki u kere dx bu da gradyan f'yi açarsanız df dx df dy bileşenleri bunu da dx vektörünün bileşenleri de dx dy, iç çarpımı aldığınız zaman gradyanın birinci bileşeni ile dx in birinci bileşenini çarpıyoruz, ikinci bileşeni ile gradyanın dy'yi çarpıyoruz buna geliyor. Bu da bakınız zincirleme türev kuralını uygularsanız df dx dx artı df f dy dy df olur tam diferansiyel our yani burdaki aynı farklılığı belirtmek için küçük f ile gösterildi tek değişken olsun, aynı duruma geliyoruz. Bu tam diferansiyelin entegrali fonksiyonun kendisi olur ve burada da b'deki değerinden a'daki değerini çıkararak elde ederiz yani tek değişkenlinin iki değişkenliye genellemesi bu, üç değişkenliye genellemesi de tamamen aynı yapıda çıkıyor. Bir tek ilave olarak z li terim var ama bu da gene tam diferansiyeli veriyor ve gördüğünüz gibi bu diferansiyel hesabın bir çizgi üzerindeki entegrallere genellemesi oluyor bu diferansiyel hesaptaki ikinci temel teoremin, birinci temel teoremi de hatırlıyacaksınızdır burada bir f nin entegralini alsanız götürüp ondan sonra bunun türevini alsanız belirsiz entegral üzerinde olmalıdır, yani belirlenmemiş bir x değeri üzerine ki türevi alabilelim aksi takdirde sabit değerleri verdikten sonra burda bir sabit çıkar onun bir daha türevi aldığımızın pek bir anlamı kalmaz, sıfır verir o da her zaman. Onun için belirsiz entegral üzerine de diferansiyel hesabın birinci temel teoremi çıkıyordu. Gördüğünüz gibi demek ki bizim bu yaptığımız konular çok uzaydan gelen öyle mucizevi değişik konular da değil, tek değişkenlerdeki ana bir teoremin genellemesiymiş. Ama bu teorem tek değişkenli fonksiyonlarda her zaman geçerli yeterli derece süreklilik varsa ama burada u kere dx için her zaman geçerli değil çünkü her u nun, u bir gradyandan üretilemez ancak korunan alanlar yani konservatif alanlar bir gradyandan üretilebilir eğer gradyandan da üretiliyorsa aynı bu ikinci temel teoremi karşılıyor. Şimdi gene üç boyuta genellememiz gereken bir konu var. Bunlar da iki boyuttaki Green teoremlerinin genellenmesiydi, hatırlayalım Green teoremini teoremlerini t nin üzerine u'nun izdüşümünü alıp s üzerine entegralini yaptığımız zaman udx artı vdy'ye geliyordu. Bu da grin teoreminde her zaman yani burada korunan potansiyele falan gerek yok vx eksi uy'nin alan üzerine entegraline geliyordu yani bir çizgi üzerine entegral almak bir alan üzerine entegrale eşdeğer geliyordu, bununla ilgili de pekçok örnek gördük. Biz bunu vektörlere yazarsak bakınız burda vx eksi uy aslında u'nun rotasyonelidir. Burda sağlamasına bakalım, rotasyonel demek veyahut vektör çarpımı demek ijk ları birinci sayır olarak yazacaksınız ikinci satıra birinci vektörün bileşenlerini yazacaksınız bu nabla işlemcisinin gradyan işlemcisinin diğer deyimiyle bileşenleri ddx, ddy, ddz Bizim u vektörümüz ama sadece x'e ve y'ye bağlı ve iki tane bileşeni var, u ve v düzlemdekileri bu iki boyuttaki yani düzlemdeki Green teoremlerinden bahsediyoruz şimdi bunu üç boyuta genellemenin yoluna girdik. Bunu açarsak bu determinantı şöyle açıyorduk, birinci satıra göre açıyoruz i bileşeni i'nin bulunduğu satırı ve sütunu kapatıyoruz. Sıfırın dy'ye göre türevi sıfır, v'nin z'ye göre kısmi türevi ama v, z'den bağımsız olduğu için bu da sıfır çıkar. Demek ki i bileşeni sıfır j bileşeninde de aynı durum var, birinci satırı bu sefer ikinci sütunu geçici olarak kadıralım, o zaman ddx'in ne alacağız, bu sıfırın sıfır u'nun da z'ye göre türevini alacağız çünkü burada sütunu ve bu satırı geçici olarak kaldırdık geriye sadece şunlar kaldı bu da sıfır verdı ama k'ya bakarsak burada k'nın bulunduğu sütunu ve satırı, satırı zaten çıkarmışız burada sütunu çıkaracağız. Sütunu çıkarınca da bakınız v'nin dx'e göre türevi vx ile gösteriyoruz onu eksi ikinci köşegen üzerindekieri eksi işareti ile koyuyorduk, u'nun da y'ye göre. O da eksi uy ama k ile çarpılıyor k'da ijk'da xy düzlemine dik olan birim vektör. Şimdi bunu kullanırsak bakınız sol taraf u tds idi, bunu daha önce de gördük. Sağ taraf ise bakınız burada rotasyonel çıktı bir farkla k ile, bu k'yı götürebilmek için k ile iç çarpımını alırsak k ile k nın iç çarpımı bir olduğu için geriye sadece vx eksi uy kalır k kere ve alan üzerine entegrali çünkü dx dy nin de da oduğunu buluyoruz Neyi sağladık burada, tamamen başından itibaren sayısal fonksiyonarla yani skaler fonksiyonlarla çalış tığımız birinci Green teoremini vektör gösterimiyle vektör işlemleriyle tanımladık. İkincisinde de Green teoremlerini benzer işlemi yapıyoruz n ds'nin eksi dy dx olduğunu bulmuştuk. Buna dayanarak u kere n ds'nin eksi v dx artı udy oduğunu buluyorduk ama aynı birinci teoremi gibi, ikinci bileşenin ki burada ikinci bileşen artık u oldu, u'nun x'e göre türevi eksi birinci bileşenin, birinci bileşen ise eksi v oldu oldu, dolayısıyla iki eksi dolayısıyla artı olur, v'nin de y'ye göre türevi oluyor. Bu da dx dy oluyor yani burada da ikinci Green teoremini olduğu gibi daha önce gördüğümüz gibi yazıyoruz ama şimdi hemen bunu vektör işlemleriyle gösterebiliriz, sol tarafı defalarca gördük. U kere n'nin ds üzerine entegrali, sağ tarafta da gayet ilginç birşey çıktı. Birinci teoremin tersine orada bakınız ikinci bileşenin birinci değişkene göre türevi birinci bileşenin ikinci değişkene türevi ve farkları geliyordu bakınız burada ise birinci bileşenin birinci değişene göre türevi, ikinci bileşenin ikinci değişkene göre türevi, bu da u vektörünün bileşenleri u ve v olan u ve v olan u vektörünün diverjansıdır. Çünkü diverjansta şunu tanımlıyoruz, birinci bileşenin birinci değişkene göre türevi, ikinci bileşenin ikinci değişkene türevi. Demek ki bunu da ikinci grin teoremi teoremini de vektör işlemleriyle göstermiş olduk. Niçin yaptık bunu çünkü vektörler çok genel. Burada u nokta t ds dediğinizi üç boyutta yazsanız yirmi boyutta yazsanız gene u nokta tds ile göstereceksiniz. Rotasyoneli üç boyutta da olsa gene rotasyonel u olacak bir tek şöyle bir fark olacak onu hemen birazdan göreceğiz, buradaki k düzleme dik vektördü bu ise yüzeydeki yüzeye dik birim vektör haline gelecek bunu hemen görelim bakınız yaptığımız işlem şu: Birinci grin teoreminde böyle bir kapalı çevrim üzerinde c üzerinde dolaşırken u dx'e eşdeğer geliyor, bu t ds bu bu düzlemin dik vektörü k ile rotasyonelin çarpımını alıp bu alan üzerine entegrale geliyor. Uzaya geçtiğimiz zaman alanlar yüzeyler oluyor, bakınız bu çevrim uzayda böyle bir çevrim var, bu çevrimi üzerine entegralin, yani bu kapalı bir çizgi bu çizginin üzerine oturtulan burada düzgün bir yüzey çizildi ama onun ayrıntılarını hemen göreceğiz. Bu yüzey üzerine olan rotasyonelin yüzeyin birim vektörü n ile bunun birim, bunun sonsuz küçük alanı d çarpımına geliyor. Bakınız yapı aynı. Sol tarafların yapısı tamamen aynı. Ama sağ tarafta rotasyonel var, rotasyonel var. Alan var. Ama bunun genellenmesi uzaydaki alan bunu gördük uzaydaki yüzeylerin alanı d s'ler. Bu birim vektör bu düzleme, x ve y düzlemine dik birim vektörken buradaki s yüzeyi üzerine gittiğimiz için buranın birim vektörü n'ye genelleniyor. Bunun ayrıca ispatını yapmak mümkün. Bu birinci Green teoreminin ispatını yapmıştık. Fakat bunu artık yapmak istemiyorum çünkü bu epeyce uzun da oluyor ve kavramsal olarak bu geçişi kabullenmemizi bekliyorum. İkinci Green teorimine, de şöyle oluyor: Buna Stokes teoremi diyoruz. Birinci Green teoreminin üç boyuta genelleştirilmesine Stokes teoremi diyoruz. İkinci Green teoreminin üç boyuta genelleştirilmesine de Green-Gauss teoremi diyoruz. Bazıları sadece Gauss teoremi der, bazısı diverjans teoremi der. Buradaki işlem de bu u vektörünün teğet üzerine izdüşümünü almıştık birincisinde. İkincisinde gene bu u vektörünün bu sefer birim dik vektör üzerine, n üzerine izdüşümünü alıyoruz. Bunlardan bi tanesi mesela bu boru içinde bi gaz akımı veyahut bu tel içinde bir elektrik akımı gibi düşünebilirsiniz. Burada ise bu sınırın bir tarafından öbür tarafına geçen ısı akımı veyahut elektrik akımı gibi düşünebilirsiniz. Bunu biraz önceki tartışmamızda gösterdik. Bir, ikinci Green teoremi diverjansına eşdeğer geliyordu a'nın üzerine, bu alanın üzerine. Ama gördük ki düzlemde dik vektör bi tane tay, tanımlanabilse de, uzayda anlamı olmuyordu bunun. Onun yerine bir kapalı yüzeyde nasıl ki burada kapalı bir çizgi alıyorsak, bir kapalı yüzey üzerindeki birim vektörle çalışıyoruz. Bu u'nun n'yle iç çarpımını alıp yüzey üzerine bu yüzeye s dersek, d s de bunun alanı olduğunu görmüştük buradaki gibi. Ama buradaki fark bu ikincisi kapalı bir yüzey çünkü burada kapalı bir çevrim üzerinden bahs, kapalı bir eğri üzerinden bahsediyoruz. Bunun eşdeğeri de kapalı bir yüzey üzerineki entegralin. Diverjansın bi üst boyuta gidiyor burada. Bakınız bu yaydan yüzeye gitti. Buradaki alandan da hacıma gidiyor. Diverjansının hacim üzerine entegraline eşdeğer geliyor. Bunlara da birincisine Stokes teoremi diyoruz, bu ikincisine de Gauss veyahut Green-Gauss veyahut da diverjans teoremi. Çünkü buradaki işlem diverjans oluyor. Bu şekilde ayrı bi ispatını yapmaksızın düzlemdeki Green teoremlerinden uzayda iki teoreme geçmiş oluyoruz. Bu teoremlerin anlamlarını görelim. Düzlemde böyle bir kapalı eğri vardı. Bir çevrim vardı. Bunun üzerinde u t d s'yi alıyoruz. Yani vektörlerin bu çevrim üzerine, çevrim boyunca birikimini, toplamını, entegralini alıyoruz. Buradan üç boyuta geçtiğimiz zaman hemen şunu görüyoruz: Burada bir çevrim varsa, bir kapalı çizgi, bunun üzerine sonsuz tane yüzey oturtulabilir. Bunlardan bir tanesi düzlemde ise bu eğri düzlemdeki alan olur. Ama bunun üzerine bir s alanı oturtabilirsiniz. Bunun üzerine s üssü alanı oturta, yüzeyi oturabilirsiniz. Sonsuz tane yüzey vardır. Dolayısıyla bu çevrimin uzayda ama düzlemdeki bir çevrimin üzerine oturtulan alanlarla şunu buluyoruz: Stokes teoremi u'nun rotasyonelini alın bunun düzlemin dik vektörüyle çarpın ve entegre edin diyordu. Bunu k'yla da gösterebilirsiniz bu n'yi. Ama burada görüyoruz ki bakınız böyle bir tel üzerine bazen çocuklar oyun oynarlar, ben de çocuğum büyürken yapıyordum, suyun içine biraz çamaşır suyu veyahut bulaşık deterjanı atarsanız üfleyince bu çemberin üzerine oturan bi sürü baloncuklar oluşuyor. Tabii az üflerseniz küçük bir baloncuk, çok üflerseniz daha büyük bir baloncuk, aynı bunun durumunu elde ediyorsunuz. Ama bundan daha farklı da bi durum var. Bu özel bir durum. Daha genel olarak uzayda bir kapalı eğri varsa, yani burada gördüğünüz gibi bir düzleme oturmuş bir eğriyle başladık. Uzayda bir eğri de, çevrim de olabilir. Bunun üzerine de sonsuz tane alan, yüzey oturtulabilir. Bu da daha genel durumu söylüyor. Uzaydaki çevrimin işte gene bu rotasyonelini alıp mesela buradakine s yüzeyi diyelim. Buradakine s üssü yüzeyi diyelim. Aynı bu çocukların yaptığı bu tel üzerine baloncuklar oturtmak gibi bütün bu yüzeyler üzerindeki entegral rotasyonelli ama her birinin n'si ayrı. s'si ayrı yani yüzeyin kendisi farklı. Bütün bu yüzeylerde aynı sonucu verir. Bu hakikaten çok çarpıcı bir sonuç ve belki de doğa kurallarının böyle iyi oturabilemesi, çalışabilmesinin bir nedeni burada yatıyor. Şimdi bunları örneklerle de göreceğiz. Burada iki teoremi bi arada bi kere daha göstermek istiyorum. Birincisinde yani bu defalarca, belki de sıkılmaya da başlamış olabilirsiniz ama bu o kadar önemli ki ne kadar çok göstersek yeterli değil. Düzlemde şöyleydi birinci Green teoremi. Bunu uzaya getirdiğimizde bakınız sol taraf değişmedi ama u uzayda bir vektör, t uzayda bir teğet vektör, d s de uzayda bir yay eğrisi. Gene rotasyonel. Ama burada düzlemin bi tek vektörü var. k. Ama burada herhangi bir yüzey olunca o yüzeyin n'sini, birim dik vektörünü alıp yüzey üzerine entegre etmek lazım. İkinci Green teoreminde biraz farklılık var. Buradaki n bi tane olduğu için düzlemde tek katlı bi entegralle işi götürebiliyoruz. Zaten düzlemde bir eğri üzerinde gittiğiniz zaman bir kapalı bölge tanımlayabilirsiniz. Uzaya geldiğiniz zaman bir kapalı yüzey ancak tanımlayabilirsiniz. Böyle bir uzayda bir kapalı eğri alsanız bu bi hacim tanımlamaz. Bi hacim tanımlayabilmek için kapalı bir yüzey lazım ve bunun içinde kalan bölge de kapalı sınırın içindeki hacim oluyor. Bu tek katlı entegral iki katlı entegrale gidiyor. Ama u kere ne gene burada var. Ama n farklı. Burada eğrinin birim vektörü, burada yüzeyin birim vektörü. Burada yay uzunluğu, burada alan. Ve diverjans gene diverjans kalıyor ama bi üst boyuta geçtiğimiz için buradaki tek katlı entegral iki katlı oldu, bir kapalı bölge tanımladı. Buradaki iki katlı entegral de üç katlı oldu. Çünkü bi kapalı gene bi bölge tanımlamamız lazım hacim tanımlayabilmemiz için. Bu ikisini bir arada görerek biraz daha hafızamızda yer eder diye umuyorum. Green-Gauss teoreminin özel bir durumu vardı, var. Eğer u bir gradyandan geliyorsa, bir f'nin gradyanından bakınız bu teoremi alıp u yerine gradyan f koyalım. Bunun n'yle çarpımı, hiçbir şeyi değiştirmiyorum, d s üzerine entegrali eşittir bu u'nun diverjansı. Bu u'nun diverjansı demek gradyanın diverjansı demek. Gradyanın diverjansı da iki tane gradyan geliyor ve iç çarpımıyla. Demek ki gradyanın karesi gibi. Nabla'nın karesi oluşuyor. Buna da Laplasyen diyoruz zaten. f'nin laplasyeninin hacim üzerine entegrali. Bu da çok sık karşılaşılan bir durumdur. Birinci e, Green teoreminde veyahut Stokes teoreminde gene u gradyan f olsa bakınız bu bir şey vermeyecek. Çünkü herhangi bir gradyanın rotasyonelini alınca bu özdeş olarak sıfırdır. Bütün f'ler için bu sıfırdır. Dolayısıyle bu teoremde sağ taraf sıfır olduğu için bu da u'nun t üzerine entegralinin bir kapalı çevrim üzerinde, uzayda. Şimdi ilk tarafında düzlemde bir kapalı eğri var. Uzayda ise bir teli alın. Uzayda bi düzlemin içine sığmayan kapalı eğriler elde edebilirsiniz. Bu çevrim de bu şekilde elde ediliyor. Ve bu da tutarlı bir sonuç. Çünkü diğer taraftan da biliyoruz ki u eğer bir gradyandan elde ediliyorsa bu eğri üzerin, herhangi bir eğri üzerindeki entegral yoldan bağımsızdır ve özel olarak da kapalı bir çevrim üzerinde her zaman sıfırdır. Yani bu yeni bir şey vermiyor ama bi tutarlı bi sonuç da veriyor. İşte bu deminkinin biraz daha bi kere daha söylenmesi. Bir görsel anlamı olarak bir kapalı yüzeyle bir hacim tanımlıyoruz. Gauss teoremi bunun üzerine uygulanıyor. Şimdi epeyce işler gördük. Son kapamadan önce uzaydaki akımlarla ilgili problem türlerini söyleyip bitirmek istiyorum. Bundan sonra da çeşitli problemler çözeceğiz. Dersin geri kalan kısmı çeşitli bu üç tür problemin çeşitli yönlerini incelemek. Bi tanesi açık yörünge veya bir çevrim üzerine. Yani bi a'dan b'ye giderken teğet üzerine izdüşümlerin entegrali veya bir çevrim üzerine kapalı bir yörünge üzerindeki problemlerle ilgileneceğiz. Bu entegrallerin hesaplanması. Bi de en önemli konu gene düzlemdeki durumu hatırlarsanız yoldan bağımlı veya bağımsız olması önemliydi. Yoldan bağımsız ise bi potansiyelin varlığını görmüştük teorem olarak. Bu teoremin bu sefer üç boyutta bulunması gibi problemlerle uğraşacağız. İkinci tür problem, bir açık veya kapalı yüzeyde bu çeşit entegrallerin hesabını yapmaya çalışacağız. Ondan sonra da bu Stokes teoremini uygulayacağız. Gene hacim üzerinde, herhangi bir fonksiyonun hacim üzerine entegrallerini zaten gördük bunları. 15. bölümde gördük. 14. bölümde de bu yüzey üzerine entegralleri gördük. Şimdi buradaki yüzey üzerine entegrallerin biraz daha farklı türlerini alacağız. Burada da gene bakınız burada u t yay üzerine entegral varken, burada yüzey üzerine ama önemli bir fark var. Buradaki yüzey açık bir yüzey. Buradaki yüzey kapalı bir yüzey. Çünkü hacime gidebilmek için açık bi yüzeyle bi hacim tanımlayamazsınız. Ancak kapalı bir yüzeyle hacim tanımlayabilirsiniz. Bu üç tür problemi göreceğiz. Şimdi epeyce konu gördük. Bunları problemleri çözerken bu konuların pekişeceğini, daha iyi anlayacağınızı umuyorum. Zaten el alışkanlığı da lazım ama kavramları iyice anlayabilmek için de bu çeşit örnekleri yapmak lazım. Özetlersek şimdiye kadar yaptığımız iki boyutta bulduğumuz konuları üç boyuta genelledik. Tekrar görüşene kadar hoşça kalın ama bu konuları da gözden geçirin, iyice anlamış olarak gelin bir dahaki oturumumuza. Hoşça kalın.
