[AUDIO_VIDE] Bienvenue dans cette leçon du cours du sol et de l'immobilier, consacrée à la croissance des revenus immobiliers. En effet, jusqu'ici nous avons considéré le revenu immobilier, en fait la rente foncière sur une seule année, ou alors nous avons supposé que ce revenu immobilier était constant dans le temps. Il est beaucoup plus plausible de supposer qu'elle varie chaque année, en fait, idéalement, elle devrait même augmenter chaque année. Et nous allons voir dans cette leçon comment on peut arbitrager entre un placement immobilier qui promet un revenu croissant chaque année et un placement financier qui lui, propose un revenu constant. Je vais commencer avec un problème introductif, c'est celui du propriétaire d'un terrain qui prévoit que ce terrain lui rapportera une rente foncière de 45 mais que cette rente augmentera, et qu'elle augmentera de 2 % chaque année. Et un investisseur lui propose de lui acheter ce terrain pour 1 500. Est-ce que le propriétaire foncier a intérêt à lui vendre le terrain? Autrement dit, à quelles conditions le propriétaire foncier devrait accepter cette offre? Alors évidemment à première vue, on a envie de comparer la rente foncière, 45, avec le prix proposé, 1 500. Dans ce cas là , on pourrait dire, si le propriétaire foncier obtient les 1 500 et peut les placer à un taux d'intérêt plus élevé que 3 %, eh bien le placement financier lui rapportera plus que 45. Seulement, c'est oublier que le placement financier produit un revenu constant, ce sera 3 % ou plus de 1 500 chaque année alors que la rente foncière de son côté augmente chaque année. Et si la rente foncière augmente, eh bien on peut s'attendre à ce que le prix du terrain aussi augmente. Et si le prix du terrain augmente, cela signifie qu'il n'y a pas que le rendement direct, 45 sur 1 500 égal 3 %, mais qu'il y a un rendement additionnel qui a une plus-value qui contribue à la rentabilité de la propriété foncière. Et donc, on voit bien que le simple calcul, vendre à condition de pouvoir replacer l'argent à 3 %, eh bien ce calcul là ne vas pas répondre à la question du propriétaire foncier. Reprenons les choses, le taux de rendement direct est de 3 % la première année, 45 divisé par 1 500, mais la rente foncière augmente chaque année, la deuxième année, elle sera de 45,9, elle a augmenté de 2 % mais si je compare 45,9 avec les 1 500, j'ai un rendement de 3,06% si le prix n'a pas changé et ça continue chaque année, 10 ans plus tard, la rente foncière sera de 53,8 % de croissance sur 10 ans comparé à 1 500, ça nous ferait un rendement de 3,6 donc on voit bien qu'on peut pas comparer un tel placement foncier qui offre un rendement qui augmente chaque année avec un placement financier qui lui, offre un taux d'intérêt constant. Alors ce serait beaucoup plus simple si le prix du terrain augmentait aussi de 2 % par année. Parce qu'à ce moment-là le taux de rendement direct resterait constant à 3 %, la deuxième année on aurait 45,9 de rente foncière augmentée de 2 % par rapport à la première année, mais en même temps le prix du terrain qui a aussi augmenté de 2 %, 1 530, si je compare les deux, eh bien j'obtiens de nouveau un taux de rendement direct de 3 %. Et ça continue comme ça chaque année, à la dixième année, la rente foncière, on l'a vue, 53,8, mais le prix du terrain, s'il a aussi augmenté de 2 % par année, sera de 1 793, 53,8 sur 1 793, ça nous fait toujours 3 % de rendement. Donc on voit qu'avec une croissance du prix du terrain de 2 % par an, le taux de rendement direct reste constant, et à ce moment-là je peux comparer avec un placement financier. Seulement attention, le fait que le terrain s'apprécie de 2 % par année, signifie qu'il y a aussi un taux de plus-value de 2 % par an qui fait partie du rendement du placement foncier. Donc j'ai un taux de rendement direct de 3 % constant et j'ai un taux de plus-value de 2 % chaque année, pour un taux de rendement total, constant, chaque année de 5 %. Par conséquent, le propriétaire foncier ne devrait accepter de vendre son terrain au prix de 1 500 qu'à la condition qu'il peut replacer cet argent à un taux d'intérêt d'au moins 5 %. C'est ça la réponse au problème posé. On voit la résolution du problème sous forme graphique, plutôt une illustration, à gauche, l'option qui consiste à vendre immédiatement le terrain au prix de 1 500 et la question qui est posée, à quel taux placer cet argent de façon à ce que cette option de vendre et de replacer dans un placement financier, soit aussi intéressant que la propriété foncière qui nous rapporte une rente croissante et une plus-value de 2 %. Et le rapport entre la rente et le prix du terrain majoré de la plus-value, eh bien ce rapport sera toujours de 3 %, ce qui fait qu'on a ces 3 % de rendement direct et puis on a 2 % de plus-value, d'augmentation de la valeur du terrain chaque année, la somme des deux, 5 %, et donc, l'option vendre n'est intéressante par rapport à l'option de conserver le terrain que si on peut replacer l'argent à au moins 5 %. Le problème a été facile à résoudre à partir du moment où j'ai postulé que le prix du terrain augmente au même taux que la rente foncière donc de 2 % par année, alors c'est peut-être intuitif, mais j'aimerais quand même le démontrer pour les puristes. Je vais le faire de la façon suivante. Je prends le point de vue de l'investisseur donc celui qui achèterait le terrain pour 1 500, lui aussi pourrait investir son argent au taux pour l'instant indeterminé de i, alors s'il achète le terrain à la date zéro, ce qu'il fait en réalité, c'est qu'il achète un flux infini de revenus immobiliers, que je peux noter comme étant une succession de rentes foncières R1, R2, R3, etc. Et s'il accepte de payer PT 0 pour ce flux de revenu, eh bien c'est parce que ce flux de revenus est équivalent à celui qu'il obtiendrait en plaçant cette somme au taux i, je dis bien qu'il est équivalent, il est pas égal parce qu'en fait le placement financier lui donne, un revenu constant. Maintenant supposons qu'il ait l'option d'acheter le terrain un an plus tard, donc à la date 1, à la fin de l'année 1 si vous voulez, à ce moment-là il achète de nouveau un flux infini de revenus, mais il sera différent puisqu'il n'y aura pas le revenu de l'année 1, il y aura le revenu de l'année 2 qui sera le premier revenu qu'il touchera, ensuite il y aura celui de l'année 3, celui de l'année 4, etc., jusqu'à l'éternité. Or, on sait que ces revenus sont simplement égaux aux revenus de la période précédente donc décalés d'une année, avec une majoration pour le taux de croissance des revenus, donc R2, c'est la même chose que R1 avec une augmentation au taux g. R3 c'est la même chose que R2 augmenté du taux g, 2 % dans mon exemple, etc., R4 c'est R3 fois 1 plus g, et ça continue pour toute l'éternité. Donc c'est en fait le même flux de revenus pour lesquels il était disposé à payer PT 0 mais simplement chaque revenu est majoré au taux g. Et donc, puisque, il décale, il obtient des revenus simplement augmentés au taux g, il va accepter de payer un prix PT1 pour acheter ce flux de revenus qui sera simplement le prix qu'il était disposé à payer PT 0 pour le flux de revenus qui commence à l'année 1 augmenté au taux g, et c'est ainsi que je démontre que le prix du terrain augmente au taux g chaque année le taux de croissance des revenus. En fait, on sait calculer le prix qui est acceptable pour l'acheteur, pour l'investisseur lorsqu'il fait l'acquisition d'un flux de revenus R1, R2, R3, R4 etc. C'est simplement la valeur actuelle de ce flux calculée en utilisant le taux d'intérêt comme taux d'actualisation donc c'est cette somme des revenus qu'il va recevoir une fois qu'il sera propriétaire du terrain acheté au prix PT 0, il va toucher le revenu R1 dans une année, on l'actualise sur 1 an, il touchera le revenu R2 dans 2 ans actualisés sur 2 ans, et caetera. Et la valeur terminale PTN pour la N-ième année, elle aussi, actualisée au taux i mais cette fois sur N années. On a vu cette formule de la valeur actuelle et on sait qu'il y a équivalence entre ce prix et le flux de revenus puisqu'on avait démontré dans la leçon précédente que la valeur finale du fonds alimentée par ce flux de revenus était égale à la valeur finale du placement financier PT 0 sur N années au taux i. On a donc vu que le prix équivalent à placer dans le placement financier pour obtenir la valeur terminale qui est donc équivalent au placement immobilier, celui qui génère des revenus R1, R2, R3 sur R années et qui donne droit à une valeur terminale eh bien que ce prix est équivalent simplement à la valeur actuelle de ces revenus plus la valeur actuelle de la valeur terminale. Alors c'est maintenant qu'on augmente N, donc si l'horizon devient de plus en plus long eh bien le dernier terme va disparaître puisqu'il se trouve à l'infini et on aura une succession ou une somme infinie de revenus actualisée au taux i. Et cette somme infinie va se simplifier dans un cas de figure assez commun qui est celui d'une croissance régulière des revenus, l'exemple que j'ai utilisé précédemment. Donc si les revenus croissent à un taux constant, eh bien on aura une somme qui s'exprime de cette façon, on reconnaît le revenu de la première année lorsque N est égal à 1 puisque ce terme va disparaître, la deuxième année le revenu, R2, eh bien c'est, R1 fois, 1 plus g, effectivement pour n égal à 2, on a, 1 plus g, à la puissance, 2 moins 1, à la puisance 1. Pour la troisième année on à , R1 fois, 1 plus g, à la puissance, 3 moins 1, au carré, etc., etc. Jusqu'à l'infini. Et maintenant, nous nous retrouvons avec une série géométrique, régulière, puisqu'on a des termes qui croissent de façon tout à fait, qui augmentent de façon régulière au numérateur et au dénominateur. C'est une série dont la somme se laisse simplifier, je vous épargne la démonstration ; mais ça nous donne cette expression, ici. Donc la valeur actuelle de ce flux de revenus, sur un horizon infini, se réduit à R1, le revenu de la première année, divisé par le taux d'actualisation moins le taux de croissance des revenus. Et, encore plus simple, lorsqu'il n'y a pas de croissance des revenus, lorsque les revenus sont constants chaque année, eh bien cette somme infinie se réduit à simplement, le revenu de la première année divisée par le taux d'actualisation. Et vous aurez reconnu des formules que nous connaissons bien, puisque nous les avons vues, tout au début du cours. Donc, comme je l'ai dit, on a trouvé une formule qu'on connaît très bien depuis le début du cours. Cette formule, qui dit que le prix du terrain est égal à la rente foncière de la première année, divisée par le taux de rendement requis, ou le taux d'actualisation, ou le taux d'intérêt du placement alternatif, eh bien cette formule, ça peut être le résultat d'une actualisation, sur un horizon infini, de revenus constants. Donc si les revenus sont effectivement constants, si on a raison d'anticiper une constance des revenus, eh bien, il est tout à fait juste d'estimer le prix du terrain sur cette base, revenu de la première année divisé par le taux d'intérêt. Par contre, si ce n'est pas le cas, c'est-à -dire si les revenus varient, augmentent, par exemple, sans le temps, à ce moment-là , de ne pas prendre en compte cette croissance des revenus c'est de la myopie. Ce qui est problématique. Ça peut aussi être le résultat d'une volonté expresse de ne pas prendre en compte, justement, cette augmentation de la valeur du terrain par exemple, parce qu'on ne veut pas spéculer. En effet, la spéculation, on verra ça dans une, dans la prochaine leçon, la spéculation c'est cette attitude qui consiste à miser, à compter sur l'accroissement de la valeur du bien immobilier, ou du terrain, en particulier. Et il existe pas mal de contextes, notamment lorsqu'il s'agit de la maison qu'on occupe soi-même, eh bien, où on n'a pas envie qu'il y ait cet aspect, cette dimension, de spéculation dans le calcul. Et on va donc se limiter, dans ce cas-là , à ne regarder que le coût annuel, ou le revenu annuel, de son bien immobilier, et pas le changement de valeur. Une autre raison de ne pas prendre en compte cette appréciation possible du terrain, ou du bien immobilier, c'est que c'est très incertain. En effet, on connaît assez bien le revenu de la première année, il est plus difficile, déjà , de connaître les revenus futurs, mais la prise de valeur, elle, va dépendre de tous les revenus futurs. Et ça, c'est quelque chose qui est extrêmement difficile à estimer, à prédire, et ça aussi, on le verra. D'accord? Donc pour toutes ces raisons, parce qu'on ne veut pas spéculer, ou qu'on ne veut pas miser, ou intégrer dans son calcul une prise de valeur très hypothétique, pour toutes ces raisons on peut se contenter parfois, de ne regarder que les revenus de la première année. Et alors, on aboutit à cette formule, très simple ; mais qui peut aussi être le résultat, encore une fois, d'un calcul avec anticipation parfaite, jusqu'à la nuit des temps, de revenus qui seraient constants. Vous vous êtes peut-être demandés comment il est possible qu'une somme infinie de revenus, même constants, et a fortiori quand ils augmentent chaque année, comment cette somme infinie peut converger vers un nombre fini. Eh bien la réponse est illustrée par ce schéma. Regardez d'abord la ligne supérieure, la ligne foncée, elle représente l'évolution des revenus dans mon exemple la rente foncière qui part à 45, et qui augmente de 2 % chaque année. Donc effectivement, dans un siècle, cette rente foncière a considérablement augmenté, puisqu'elle est aux alentours de 320. Et, à première vue, la somme de ces rentes foncières croissantes ne peut pas donner un nombre fini, d'autant plus, encore une fois, que ça continue, après l'année 100. En réalité, ce qu'on regarde, ce n'est pas la somme des revenus, c'est la somme des revenus actualisés. Et l'actualisation, au taux de 5 %, a pour effet de transformer la ligne vert foncé en la ligne vert clair. Ça veut dire, au début ça ne change quasiment rien, sur le revenu de la première année, puisqu'il est actualisé sur seulement une année, mais déjà , le revenu de la deuxième année, divisé par, 1 plus i, au carré, sur la troisième par, 1 plus i, au cube, etc., ce facteur de division, pour un taux d'intérêt de 5 %, a pour effet, de, quelque part, écraser les cash flow, les revenus, et donc ce qu'il faut additionner, ce n'est pas les montants représentés par la courbe vert foncé, mais les montants représentés par la courbe vert clair. Donc, de facto, ce qu'on fait, c'est qu'on actualise ces montants, ou si vous voulez, on calcule cette somme, qui elle, on le voit bien, peut converger vers un nombre fini. Puisque la valeur actuelle des revenus futurs converge vers zéro. Pour bien voir comment l'actualisation écrase, réduit à des nombres beaucoup plus faibles les revenus futurs, et ce, d'autant plus que ces revenus sont lointains, prenons quelques cas particuliers. Donc, je l'ai déjà dit, à l'année 1, le revenu est de 45 ; la valeur actuelle de ce revenu, donc 45 divisé par 1 plus i, à la puissance 1, puisque c'est sur une année seulement, i égal à 5 %, eh bien ça me donne à peu près, 43. À l'année 20, l'effet est déjà beaucoup plus prononcé. Puisque le revenu aura d'une part augmenté, il sera de 54, mais en le divisant par, 1 point 0,5, à la puissance 20, ce qui reste, c'est seulement 33, ce qui est représenté ici. Et prenons encore le cas de l'année 100. Ici, on voit que le revenu a, effectivement, considérablement augmenté, puisqu'il est de 320 ; mais, actualisé sur un siècle, à 5 %, ça ne donne plus qu'une valeur actuelle de 2. Donc, ce revenu, qui a l'air d'être considérable, eh bien il contribue finalement très peu, à la valeur actuelle, à la somme des ces cash flow actualisés, puisque, encore une fois, il est actualisé sur un siècle. Donc on a vu que cette somme infinie de cash flow, peut converger, parce que la valeur, l'effet écrasant de l'actualisation compense l'effet, quelque part explosif, de la croissance des revenus au taux, g. La condition pour que ça marche, c'est que le taux d'actualisation, i, soit plus grand que le taux de croissance des revenus, g. Et il n'est pas nécessaire que ce soit le cas chaque année, mais il faut que ce soit le cas sur la durée, parce qu'on fait des calcul sur une période très longue. Or, que nous dit la statistique? Eh bien, on peut regarder la statistique en Suisse, la croissances des loyers, qui sont quelque part les revenus immobiliers, a été de 1,38 %, en moyenne, sur la période 1998, 2014. Sur la même période la croissance du taux d'intérêt de long terme, sur 30 ans, sur les obligations de la Confédération, qui sont des placements sans risque, et bien ce taux d'intérêt était de 3,08 %. Donc on voit bien qu'il est sensiblement plus grand que le taux de croissance, i est plus grand que g. Donc une somme de revenus croissant à 1,38 %, actualisés à 3,08 %, va converger, même sur un horizon infini, vers un nombre fini. Dans cette leçon nous avons donc vu, comment évaluer un bien immobilier qui génère des revenus croissants, nous avons vu qu'une somme infinie de revenus peut converger vers un nombre fini. Et nous avons, finalement, vu que la contribution des revenus lointains à la valeur actuelle des cash flow, donc à la valeur du bien immobilier, eh bien cette contribution est faible. D'autant plus que ces revenus sont très lointains. Dans la leçon suivante, nous allons regarder les calculs que fait un investisseur qui ne s'intéresse pas à ces revenus très lointains, qui se fixe un horizon d'investissement beaucoup plus court. Merci d'avoir suivi cette leçon, et rendez-vous dans la prochaine.
