Hola bienvenidos al tema de vectores en el espacio. Hasta el momento lo que hemos visto son vectores que los representamos en un plano. Por ejemplo, el caso de un plano cartesiano en donde tenemos un vector por ejemplo un vector "A" y decíamos que para poder indicar la dirección de este vector necesitábamos un ángulo. En este caso un ángulo que puede ser 50 grados con respecto al eje "X". La magnitud del vector es independiente de los ejes cartesianos. Aquí decimos que este vector tiene de magnitud 5 metros. Cuando queremos representar un vector de manera más general. Entonces hablamos de el espacio cartesiano. Agregamos una dimensión, la dimensión "Z". Y aquí vamos a representar a un vector. Un vector lo representábamos por medio de su magnitud. Una flecha que tiene una cierta longitud y la dirección. La dirección, ahora necesitamos más que un ángulo. Necesitamos al menos otro ángulo para poder definir esta dirección. Vamos a entender dos maneras de definir la dirección de vectores en el espacio. Dos maneras que son diferentes pero al final de cuentas equivalentes para poder calcular las componentes de un vector. En este caso vamos a girar un poco los ejes para ponerlos de una manera más común, en donde en el plano "XY" sería el plano horizontal y el eje "Z" hacia arriba. Aquí observen que estoy dibujando en diferentes colores los planos, el plano "XY", el plano "YZ" y el plano "XZ", para poder ser más explícitos con respecto a nuestra gráfica. Hay dos maneras de definir la dirección de un vector en el espacio. La primera manera que vamos a ver, es por medio del ángulo que hace el vector con los ejes cartesianos. Y aquí tenemos un vector, un vector "B" cualquiera, el cual forma ángulos con respecto a cada uno de los ejes. El eje "X" por ejemplo sería un ángulo "Alfa". El eje con respecto al eje "Y" sería un ángulo "Beta" y con respecto al eje "Z" un ángulo "Theta". Esos serían digamos un nombre para los ángulos que hace el vector con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Si tomamos en cuenta una analogía con respecto al plano, en este caso tendremos un plano, el plano "XY". Tenemos un vector está representado la dirección por medio de un ángulo que puede ser Lambda con respecto al eje "X" pero también lo podemos representar con respecto al eje "Y". En este caso es "Rho". Entonces nosotros sabemos y utilizamos la geometría de triángulos. Podríamos encontrar las componentes a "X" y a "Y" por medio de estos ángulos. En el caso de la componente "X" sería a "X" igual a coseno de Lambda. En el caso de la componente "Y" podríamos describir a coseno de Rho. Claro, pudiéramos describir también a seno de Lambda pero en este caso queremos referirlo con respecto al ángulo que hace con cada uno los ejes. Observen que para poder encontrar las componentes necesitamos la función coseno por los triángulos que se forman. De la misma manera lo vamos a hacer en el espacio tridimensional. Nosotros tenemos que los ángulos que hace el vector con cada uno de los ejes son Alfa, Beta y Theta. Tenemos que las componentes del vector "BX" por ejemplo sería "B" coseno de Alfa. La componente "BY" sería "B" por el coseno de Beta y la componente "BZ" sería "B" por el coseno de Theta esas serían las componentes. Aquí tenemos una manera de definir la dirección de un vector con estos tres ángulos y quizá nos preguntemos, ¿No dijimos que necesitamos solamente un ángulo adicional? Pues si en realidad necesitamos dos ángulos, de estos tres necesitamos dos y vamos a demostrar que existe una relación. Si yo quiero calcular la magnitud de este vector por ejemplo sería "BX" al cuadrado más "BY" al cuadrado más "BZ" al cuadrado, es decir, como si tuviéramos un teorema de Pitágoras en tres dimensiones. Si yo coloco en cada una de estas componentes su relación, es decir la componente "BX" como "B" coseno de Alfa. La componente "BY" como "B" coseno de Beta y la componente en "Z" seria "B" coseno de Theta. Nosotros sustituimos estos valores en nuestra ecuación y si elevamos al cuadrado, nos queda de una ecuación, en la que podemos eliminar "B" cuadrada y nos queda una ecuación para los tres ángulos. Observen que el coseno de Alfa al cuadrado más el coseno de Beta al cuadrado más el coseno de Theta al cuadrado es igual a uno. Se fijan que en realidad estos tres ángulos, hay una relación entre ellos. Entonces yo pudiera calcular o tener dos ángulos para la dirección y el tercero ya está completamente definido. Decir solamente necesitamos los dos ángulos. Comúnmente hablamos de los tres ángulos por facilidad. Podemos hablar de los tres ángulos con respecto a los ejes coordenados. Ahora una segunda manera de expresar esta dirección de un vector en tres dimensiones en el espacio, sería algo que le llamamos los ángulos de coordenadas esféricas, es decir utilizamos una manera muy conocida en matemáticas que se le llaman las coordenadas esféricas así como las coordenadas cartesianas la tenemos "XYZ". Aquí tenemos las coordenadas esféricas en donde se definen en lugar de "XYZ" como R, Theta y Fi ahorita vamos a ver estos ángulos. Aquí lo que necesitamos son dos ángulos, Fi y Theta, vamos a ver a qué se refieren. Si yo tengo un vector, el vector "B" por ejemplo, puedo trazar una línea perpendicular del vector hacia el plano "XY" y ahí tengo la proyección, la proyección del vector en el plano "XY". Entonces si trazo una recta desde el origen hasta donde toca la línea recta que trace perpendicular al plano "XY", obtengo que el ángulo que hace con el eje "X" se le conoce como el ángulo Fi. Ese ángulo Fi tiene una característica interesante es importante y diferente a los demás. Es un ángulo que va de cero a 360 grados. Es el ángulo que hace el eje "X" con la proyección del vector sobre el plano "XY". Además tengo un segundo ángulo, que es el ángulo que hace el vector con el eje "Z". Se fijan en que este ángulo que hace el vector con el eje "Z" es exactamente el mismo que en la primera a manera de definición de la dirección del vector. Tengo dos ángulos, el ángulo Theta, y el ángulo Fi. El ángulo Theta, como los demás ángulos que se refieren a el ángulo que hace el vector con cada uno de los ejes coordenados va de cero a 180 grados. Aquí lo tenemos. El ángulo Theta va de cero a 180 grados. El ángulo Fi va de cero a 360 grados. El ángulo Fi es un ángulo muy especial por esa característica que va de cero a 360 grados. Para poder calcular las componentes de este vector, las componentes "X, Y y Z", tengo que hacer uso de la geometría tridimensional. Es muy fácil ver que la componente "Z" sigue siendo "B" coseno de Theta así como lo era antes. Sin embargo si yo hablo de "B" seno de Theta, esa sería la proyección en el plano "XY". "B" coseno de Theta sería la componente en el eje "Z" y "B" seno de Theta sería la proyección del vector sobre el plano "XY" de tal manera que ahora voy a descomponer esta proyección, este "B" seno de Theta en dos componentes, la componente en "X" y la componente en "Y". Utilizaré "B" por el seno de Theta multiplicado por el coseno de Fi para encontrar la componente en "X" y "B" seno de Theta por el seno de Fi para encontrar la componente en "Y". De esta manera obtenemos las tres componentes. Recapitulando sería "BX" "B" seno de Theta por el coseno de Fi. "BY" sería "B" seno de Theta por el seno de Fi y "BZ" sería "B" coseno de Theta. Esa sería la manera en que podemos encontrar las componentes de un vector, con esta definición en coordenadas esféricas. Si tenemos un eje "Z", entonces necesariamente tenemos que hablar de un vector unitario en dirección de este eje "Z". A este vector unitario le vamos a llamar el vector unitario "K". De tal manera que tendremos tres vectores unitarios dentro de nuestro espacio cartesiano. El vector "i" el vector "j" y el vector "k" que son perpendiculares entre sí hacen siempre 90 grados entre ellos. Esto no sirve para poder encontrar un vector se puede expresar en función de las componentes y los vectores unitarios cartesianos. Así como lo hicimos en el plano en donde teníamos "A" es igual "AxI" más "AyJ". En este caso tendríamos "A" es igual "AxI" mas "AyJ" mas "AzK". Esa sería nuestro vector en función de las componentes y los vectores unitarios cartesianos. De tal manera que las operaciones ahora sí podemos hacerlas de manera muy sencilla. Operaciones tridimensionales es decir donde tendremos los vectores en función de las tres componentes, es decir que tengamos vectores en diferentes direcciones en el espacio. Si yo tengo por ejemplo el vector "A" y el vector "B" expresado en función de las componentes y los vectores unitarios cartesianos. Si yo quiero sumar lo único que tengo que hacer es sumar las componentes. Si yo quiero restar lo único que tengo que hacer es restar las componentes. Si quiero multiplicar un vector por un escalar simplemente multiplico cada una de las componentes. Las operaciones nos quedan bastante sencillas. Con esto ha terminado vectores en el espacio nos vemos la siguiente semana.
