Hola y bienvenidos de nuevo. En este video seguiremos estudiando las funciones polinomiales y platicaremos de una relación muy interesante entre las raíces de un polinomio y sus factores, y cómo estos influyen en la forma de su gráfica. En videos anteriores hemos visto que los factores de la forma "x más a" son raíces de la función polinomial a la cual pertenece, por ejemplo, si consideramos la función polinomial "f(x)" igual a "x más 3" por "x menos 2" y resolvemos cada uno de los factores, obtenemos sus raíces. En este caso, al resolver el factor de la izquierda, tenemos "x más 3" igual a "0" y eso implica que "x" tendría que valer menos "3" para que se haga cierta la ecuación. Mientras que, para el factor de la derecha, tendríamos "x menos 2" igual a "0" y eso implicaría que "x" tendría que valer "2". Así que, para el polinomio "f(x)" igual a "x más 3" por "x menos 2", las raíces son menos "3" y "2". Recuerda, para obtenerlas, resolvemos cada factor y esto, de manera práctica, equivale a cambiarle el signo a cada número dentro del paréntesis. Gráficamente, las raíces del polinomio son los valores en donde él corta el eje de las abscisas, como se muestra en la siguiente imagen, en donde vemos la gráfica del polinomio "x más 3" por "x menos 2" y vemos que este corta al eje de las abscisas en menos "3" y más "2", que son sus raíces. Eso está muy bien. La representación anterior es un ejemplo de la forma factorizada de las funciones polinomiales y podemos ver que en esta es muy fácil ver cuáles son sus raíces o sus factores. Pero, ¿qué pasa si la función polinomial no está escrita en esta forma, es decir, si está escrita de la siguiente manera: "f(x)" igual "a" por "x a la cuarta", más "b" por "x al cubo", más "c" por "x al cuadrado", más "d" por "x", más "e", las cuales están expresadas en la forma más general? Estas funciones, ¿qué factores tienen? Para responder esta pregunta, recordemos que los factores son las partes que integran una multiplicación y que su resultado es el producto, por ejemplo, si multiplicamos "a" por "b" y el resultado es "c", entonces, "a" y "b" son factores del producto "c". Y, una nota más, si tenemos el resultado "c" y queremos obtener los factores originales, los podemos conseguir utilizando la operación contraria, es decir, la división. Así, los factores de "20" son "5" y "4", y, si dividimos "20" entre "5" obtenemos el factor faltante que es "4", y viceversa. Una condición para probar que una cantidad es factor de otra es que su división sea exacta, es decir, que su residuo sea "0", esto es conocido como el "teorema del factor". Por otro lado, el teorema del residuo nos indica que el resultado de evaluar una función polinomial en un valor "a" es igual al residuo de la división del polinomio entre "x menos a". Muy claro, ¿no? Mejor, veamos un ejemplo. Por ejemplo, encontremos el residuo de dividir "x cúbica" más "2, x cuadrada", menos "3x", más "5", entre "x menos 2". Para ello, sustituyamos "2" en el polinomio. Y, nos quedaría: "2 al cubo", más "2" por "2 al cuadrado", menos "3 por 2", más 5; esto es igual a "8" porque "2 al cubo" es "8", y "2" por "2 al cuadrado" que es "4", es "8" también, menos "3 por 2" que es "6", más "5"; y, esto da, como suma, "15". Listo. De acuerdo con el teorema del residuo, nos indica que el residuo de la división de este polinomio entre "x menos 2" es "15". Y, esto quiere decir que "x menos 2" no es un factor del polinomio. A partir de lo anterior, si "f(a)" es igual a "0", entonces, el término "x menos a" es un factor del polinomio porque su residuo dio "0". O, dicho de otra manera, si se encuentra un valor "a" para el cual "f(a)" es igual a "0", ese valor es una raíz del polinomio. Veamos otro caso. Averigüemos si el polinomio "x" a la cuarta, menos "2, x cúbica", más "x" al cuadrado, más " menos 1", tiene por factor "x menos 1. El polinomio de cuarto grado, del cual estamos hablando, es divisible por "x menos 1" solo si, al evaluar el polinomio con "x igual a 1", el resultado es "0". Llevemos, pues, a cabo, la evaluación y recuerda que "evaluar" es sustituir en la función. En este caso, hacemos: polinomio evaluado en "1" es igual a "1" a la cuarta, menos "2" por "1" al cubo, más "1" al cuadrado, más "1", menos "1", igual a "1" menos "2", más "1", más "1", menos "1"; y, esto es igual a "0". Como el resultado de la evaluación es "0", entonces, de acuerdo con el teorema del residuo, sabemos que, por lo tanto, "x menos 1" es un factor de "x" a la cuarta, menos "2, x cúbica", más "x" al cuadrado, más "x" menos "1". Ahora, sabemos que el teorema del residuo nos ayuda a conocer el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma "x menos a", siendo "a" un valor numérico conocido, sin necesidad de hacer la división. Esto lo facilita todo. Pero, ahora te preguntarás, ¿cómo voy a hacer la división de polinomios? Por fortuna, para dividir un polinomio entre un binomio de la forma "x menos a", tenemos un método conocido como "división sintética", el cual es una simplificación de la división polinomial extendida. Básicamente, los pasos son: sumar en vertical y multiplicar en diagonal. Dividiremos "x" a la cuarta, menos "2, x cúbica", más "x" cuadrada, más "x", menos "1", entre "x menos 1". Para llevar a cabo la división sintética, colocamos dentro de una casilla o galera los coeficientes del polinomio, respetando la notación en donde los coeficientes del polinomio se acomodan en orden decreciente y, si es el caso, se pone un "0" para los términos de potencias no presentes. Afuera, escribimos la raíz a probar, es decir, el negativo del número en el binomio, en este caso "1". El primer paso siempre es escribir el primer coeficiente debajo de la línea horizontal. Ahora, multiplicamos diagonalmente el "1" fuera de la casilla por el que está en la línea de resultados y escribimos su producto en la segunda fila, debajo del siguiente coeficiente, y lo sumamos, en este caso, sumamos menos "2" más "1" y escribimos el resultado en la tercera línea. Nuevamente, multiplicamos diagonalmente el "1" fuera de la casilla por el menos "1" y escribimos el resultado en la segunda fila, debajo del siguiente coeficiente, para, después, sumar verticalmente, en este caso, "1" más, menos, "1", que da "0". Otra vez, multiplicamos diagonalmente el "1" fuera de la casilla por el "0" y su resultado lo ponemos en la segunda fila, debajo del siguiente coeficiente, para, después, sumar verticalmente, en este caso, "1" más "0", lo cual es "1". Por último, multiplicamos diagonalmente el "1" fuera de la casilla por "1" y su resultado lo ponemos en la segunda fila, debajo del siguiente coeficiente, para, después, sumar verticalmente, en este caso, menos "1" más "1", lo cual es "0". Este último resultado es el residuo de la división. Tenemos dos maneras de conocer el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma "x menos a", el teorema del residuo y la división sintética. Y, te preguntarás, ¿cuál de ellos es mejor? El teorema del residuo es más rápido, pero, la división sintética nos da el resultado de la división. Luego de completar la división sintética, sabemos que "x menos 1" es un factor, debido a que el residuo es "0". Pero, también sabemos que el resultado de la división de "x" a la cuarta, menos "2, x cúbica", más "x" cuadrada, más "x" menos "1", entre "x menos 1", es igual a "x" cúbica, menos "x" cuadrada, más "1". Por otra parte, si consideramos la función polinomial original "f(x)" igual a "x" a la cuarta, menos "2, x cúbica", más "x" al cuadrado, más "x", menos "1" y, como se cumple que "x menos 1" es factor del polinomio, podemos escribir que el resultado de su división va a ser igual a "x" cúbica, menos "x" cuadrada, más "1". Y, de la expresión anterior, si pasamos multiplicando el denominador al lado derecho, tendremos... Por lo cual, vemos que podremos escribir la función polinomial original como "f(x)" igual a "x menos 1", por "x cúbica, menos x cuadrada, más 1". Así que, ahora, hemos factorizado parcialmente nuestra función polinomial. Hemos platicado sobre el teorema del residuo y cómo este nos ayuda a encontrar el residuo de una división de un polinomio entre un binomio de la forma "x menos a". También, hemos platicado de la división sintética. Ahora, solo falta que ganes práctica en el uso de estas herramientas. Por ahora, está bien. Hasta la próxima.
