Hola, ¿qué tal? En este video, vamos a tratar dos temas que seguramente ya has visto. Uno es el trinomio cuadrado perfecto y está relacionado directamente con el álgebra. Y el segundo tema es la ecuación de la parábola, que está relacionado generalmente con la geometrÃa analÃtica. Vamos a empezar este tema viendo la ecuación de la parábola y, en particular, vamos a trabajar con la parábola vertical. La forma general de esta ecuación la presentamos aquÃ, donde aparece como "y" igual a "x" cuadrada más "bx" más "c". Otra forma de ver la ecuación de una parábola es a través de la forma canónica. En esta forma, lo que tenemos es un binomio elevado al cuadrado y un binomio elevado a la uno. En este caso, hacemos énfasis sobre el signo más y el signo menos. Ya que el signo que tenemos, que estamos indicando aquÃ, nos va a dar la forma de la parábola, si abre hacia arriba o abre hacia abajo. En el caso en que tenga yo un signo positivo, lo que vamos a tener es una parábola que abre hacia arriba. En esta parábola, estamos indicando el vértice y el foco. La distancia que hay entre este vértice y el foco la designamos con la letra "p". Esa misma distancia es la que encontramos del vértice a una recta conocida como la directriz. En el caso que tengamos un signo negativo en esta ecuación, lo que tendremos es una parábola que abre hacia abajo. Nuevamente, vamos a tener a "p" como la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la recta conocida como la directriz. Dénse cuenta de que, para el caso en que tenemos una parábola que abre hacia arriba, las coordenadas del vértice van a ser "xb", yb". Y las coordenadas del foco serán la misma coordenada en "x" que tiene el vértice y la coordenada que yo tengo el vértice, lo que hay que hacer es sumarle la distancia "p". Para la parábola que abre hacia abajo, las coordenadas del foco, lo que tengo que hacer es, a partir de las coordenadas del vértice, en la parte del "y", tengo que restar la distancia de "p". AsÃ, las coordenadas del vértice serán "xb", "yb", y el foco será "xb", "yb", más o menos la distancia del vértice al foco. La parte medular de este video es cómo pasar de la forma general a la forma canónica. ¿Cómo hacerle o qué debemos hacer para pasar de esta forma a esta forma? Qué hacer con "a", "b" y "c" para, en lugar de ellos, tener "xb", "yb" y "p". Voy a discutir dos ejemplos de esta situación y comenzaré con uno que no es sencillo. La parte importante es ubicar los términos: el primer término que va al cuadrado y el siguiente, que es el término lÃnea. Para poder construir el trinomio cuadrado perfecto, lo que debemos de hacer es factorizar el coeficiente que multiplica a la "x" cuadrado. Entonces, en este caso, como estoy factorizando el tres, lo que debo de poner aquà es un cuatro, ya que cuatro por tres me da 12. Para la construcción del trinomio cuadrado perfecto, lo que vamos a hacer es, el coeficiente que está multiplicando a la "x", lo voy a dividir entre dos y lo voy a elevar al cuadrado. Para no afectar la igualdad, lo que voy a hacer es restar una cantidad exactamente igual a esta. AsÃ, el término que yo puse, si lo resto, realmente lo que estoy haciendo es sumar un cero. ¿Por qué lo hacemos asÃ? Porque el término que me queda a continuación, que serÃa cuatro entre dos, que es dos al cuadrado, me da cuatro menos cuatro. Estos tres términos son los que me representan el trinomio cuadrado perfecto. AsÃ, lo que yo tengo aquà es "x" más dos, todo elevado al cuadrado. Recordemos que para cuando tenemos un binomio y que esté elevado al cuadrado, lo que hacemos es el cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, dos por dos, cuatro por "x", cuatro "x", más el cuadrado del segundo. Y queda el menos cuatro. A continuación, lo que vamos a hacer es distribuir este producto. TendrÃa tres "x" más dos al cuadrado. Más por menos, menos, tres por cuatro, 12, y más 30. Sumamos, al -12 le sumo el 30 y me quedarÃa 18. Ya casi terminamos de encontrar la forma canónica. Continuamos con la última expresión que tuvimos en la diapositiva anterior. Entonces, el 18 que tengo aquà lo voy a pasar al lado izquierdo y va a pasar restante. Lo que voy a hacer a continuación es factorizar el coeficiente que está multiplicando a la "y" y lo que me quedarÃa serÃa seis "y", y como aquà tengo un 18, lo que tendrÃa que poner aquà es un tres, porque seis por tres, 18. Finalmente, este tres que está multiplicando el binomio que está al cuadrado, lo voy a pasar al otro lado dividiendo, asà tendrÃa yo seis entre tres, que es igual a dos. Y hemos terminado. ¿Por qué esta expresión es idéntica a la que tengo a una parábola? Aquà "xb" serÃa igual a menos dos, "yb" serÃa igual a tres. El dos es una cantidad que no le estoy restando, que no tiene un signo en frente negativo, es positivo, y entonces aquà lo que tendrÃa serÃa un signo más. Por lo tanto, lo que tenemos es una parábola vertical que abre hacia arriba y el valor de "p" lo encuentro al igualar cuatro "p" con dos. Con lo que "p" es igual a un medio. De esta forma, las coordenadas del vértice van a ser menos dos, tres y el foco va a ser menos dos, y al tres lo que debo de hacer es sumarle un medio. El tres lo puedo ver como seis entre dos más un medio, siete sobre dos. Entonces, hemos visto un ejemplo donde yo parto de una ecuación general de la parábola a la forma canónica. Lo que acabamos de ver es algo que no es sencillo. De hecho, yo podrÃa calificarlo como difÃcil. Veamos ahora una situación un poco más sencilla. Si partimos de esta ecuación, lo que voy a hacer es, la "y" la paso al lado derecho y me va a pasar como una cantidad negativa. Y lo que quiero hacer, nuevamente, de esta ecuación es pasarlo a la forma canónica. ¿Qué hago? Completar el trinomio cuadrado perfecto de esta cantidad. ¿Qué es lo que hacemos? Recuerden, el coeficiente que está multiplicando a la "x" lo divido entre dos y le eleva al cuadrado. Si sumo esa cantidad, debo de restar esa misma cantidad para no modificar la igualdad. Con estos tres términos, lo que yo tengo es un binomio elevado al cuadrado. Aquà debo de poner un signo menos, dado que aquà lo que tengo es un signo menos. Si me dieran como punto de inicio este binomio al cuadrado para desarrollarlo, ¿qué es lo que hacemos? El cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo. Como tengo tres medios por dos, me va a dar de resultado tres "x" más el cuadrado del segundo. Con esto hemos construido el trinomio cuadrado perfecto. A esa cantidad le vamos a restar menos tres medios, como está al cuadrado, menos cuatro, menos nueve cuartos y le debo sumar el cuatro. Al hacer esta fracción, lo que nos queda es menos nueve cuartos, más 16 cuartos, porque el cuatro lo puedo ver como 16 cuartos, es igual a siete cuartos. Este siete cuartos que está sumando aquà lo paso al otro lado restando y lo que tengo que hacer ahora es, para tener la forma de una parábola, lo que debo de hacer es factorizar el signo menos que aparece en ella. Entonces me quedarÃa: menos "y" más siete cuartos. Para identificarlo con esta forma, lo que vemos es que tenemos una parábola que abre hacia abajo porque tengo un signo negativo y el cuatro "p" es igual a uno, asÃ, "p" es igual a un cuarto. Con esta información, ya sabemos los elementos geométricos de la parábola, como el vértice que va a tener coordenadas tres medios, menos siete cuartos, y el foco va a tener coordenadas: tres medios, y al menos siete cuartos, lo que tengo es que restarle es menos un cuarto. Por eso me queda menos ocho cuartos o simplemente, como menos dos. En estos dos ejemplos, he mostrado la manera de pasar de la ecuación general de una parábola a su correspondiente ecuación canónica. El tema central de este paso es completar el trinomio cuadrado perfecto. Hasta luego.