Hola, ¿qué tal? En esta ocasión, voy a dar una breve revisión de los vectores, en particular haré énfasis en la parte geométrica del resultado de la suma y la resta entre dos vectores. Recuerden que para yo definir un vector requiero de dos puntos. Por ejemplo, el origen y el punto dos, cinco, eso es un ejemplo. De ahÃ, lo que tengo que definir es de dónde a dónde va a comenzar este vector, para definir su dirección. En en este caso parte del punto "B" y llega el punto "A", eso nos definirÃa el vector uno. Este vector tiene por componentes a lo largo de "x" dos, y a lo largo de "y", cinco unidades en las que nosotros estamos trabajando. Esto es una forma de trabajar con un vector. Sin embargo, dense cuenta que yo puedo tener el mismo vector si lo dibujo asÃ. Este segundo vector es idéntico a este vector. ¿Cuál es la diferencia? Que entre los dos hay simplemente una diferencia de traslado. Trasladé del origen al punto tres, cero, pero las propiedades que tiene este vector son idénticas. Su magnitud en este caso va a estar representada de este punto "B" al punto "A". ¿Cómo obtengo su magnitud? A través del teorema de Pitágoras: dos al cuadrado, más cinco al cuadrado, su suma, la raÃz. Tengo exactamente lo mismo con este vector que está trasladado y la dirección que tienen también puedo ver que es idéntica. Entonces el ángulo que estoy formando de la horizontal con respecto al vector "u", es el mismo ángulo que tengo del horizontal a este vector. Estos dos vectores nos están representando exactamente lo mismo. Generalmente trabajamos con un vector partiendo del origen. Asà que nos quedaremos con el vector "u". Vamos a suponer que tenemos otro vector, el vector "v". Ese vector tiene por coordenadas en "x" menos cinco y en "y", dos. Entonces tengo el vector "u", dos, cinco, menos cinco, dos. Lo que quiero hacer es la suma entre esas dos cantidades. Si yo quiero sacar la suma del vector "u" más el vector "v", lo único que tengo que hacer es las componentes que tengo del vector "u", sumar las componentes que tengo del vector "v", asà el de este resultado serÃa dos más menos cinco que me da menos tres y cinco más dos que me da siete. ¿Dónde está ese resultado? Ese resultado está aquÃ. Ese es el vector menos tres, siete. Geométricamente yo puedo verlo de diferente forma esta zona. Voy a quitar por un momento la suma y fÃjense que yo tengo el vector "v" y el vector "u" y quiero sumarle "u" más "v" o "v" más "u". Entonces lo que voy a hacer es poner un vector. Otra vez trasladé el vector "u" ahora en lugar a la derecha, lo trasladé de tal manera que me quede donde comienza la "u", es justo donde termina "v". ¿A dónde llega? Llega al vector menos tres, al punto menos tres, siete, precisamente la suma. Entonces la suma de entre dos vectores la puedo ver, ¿cómo?, pongo un vector que voy a sumar, donde termina ese vector, comienza el siguiente vector. Si tuviera tres vectores, pondrÃa el siguiente vector y asà la llevarÃa. La suma se obtiene precisamente a donde termina el último vector. Eso lo hice partiendo de "v" y luego terminando con "u", pero puedo hacer exactamente la misma operación. Parto, con "u" y voy con "v". El resultado va a ser el mismo. En el caso de la suma, es muy sencillo verlo geométricamente. Lo que yo tengo que hacer es construir un paralelogramo definido por los lados "v" y el lado "u". Pongo una recta paralela a este vector que termina en el vector "v" y construyo otra recta paralela del vector "v" a donde termina "u". Donde se da la intersección de esas dos nuevas rectas me define dónde va a quedar la suma, asÃ. Lo que he mostrado es lo que se conoce como la regla del paralelogramo, pero creo que es evidente que es lo que estamos haciendo con esta cantidad. Para la suma es muy sencillo ver cuál es el resultado de la suma entre dos vectores. Para la diferencia, tiene su detalle, fÃjense. Vamos a ver. Yo lo que quiero ahora es obtener la resta entre el vector "u" menos "v". Es como si yo estuviera sumando nuevamente "u" más menos "v". ¿Cuál va a ser el resultado? El resultado va a ser dos menos, menos cinco. Entonces: dos más cinco, siete y cinco menos dos, me darÃa tres. En ese caso, la resta me quedarÃa aquÃ. Ese es el vector resta. Está complicado saber cuál es el resultado entre "A" y "B", el resultado geométrico entre un menos "v", que es este vector. Sin embargo, dense cuenta que si yo traslado este vector a el punto donde está "v", ¿qué es lo que me quedarÃa? Me quedarÃa este vector. Este vector, o este vector, quedamos que es el mismo porque solamente lo que hice fue una traslación, pero es muy conveniente ver este resultado porque cuando yo haga "u" menos "v", ya sé que lo que voy a tener es un vector que parte de "v" y termina en "A". Eso que he comentado en dos dimensiones lo podemos ver también en tres dimensiones. Hagamos un ejemplo. En tres dimensiones, la parte visual se complica un poco más. FÃjense, tenemos en este caso el vector dos, cinco, en "x" y en "y", y menos cinco, dos en "x" y en "y" para el otro vector. Son parecidos a los que tenÃamos hace un rato. Sin embargo, ahora tienen una componente adicional a lo largo de "Z". Para este caso en "Z" a este vector tiene un valor de siete y para el segundo vector tiene un valor de cuatro. Más o menos lo podemos ver aquÃ: de cero a siete, tengo el vector; de cero a cuatro, tengo el otro vector. Entonces, para estos casos, ¿cómo va a ser la suma? No importa si tenemos dos dimensiones, tres dimensiones o las dimensiones que nosotros queramos. Lo importante siempre para ver la suma o la resta entre dos vectores es estar sobre el plano que definen esos dos vectores. Por ejemplo, lo podrÃa ver aquÃ. Estoy viendo de frente el plano que definen estos dos vectores. ¿Cuál va a ser la suma? La suma va a ser el vector "u" más el vector "v". Vamos a hacerlo un poco más pequeño y ahà estarÃa nuestra suma. ¿Lo ven? Lo único que tuve que hacer fue poner un plano paralelo a donde están los vectores y seguimos con la misma idea del paralelogramo. Aquà tendrÃa este lado y un lado paralelo a él serÃa este. Un lado paralelo este vector estarÃa aquà y donde se interceptan serÃa mi vector suma. Ahora hagamos la resta entre ellos. Déjenme retirar la suma y ahora hagamos la resta: "u" menos "v", "u" menos "v" quedarÃa ahÃ. Dense cuenta que otra vez queda fuera del plano, "u" menos "v", es este resultado y lo que voy a hacer es trasladarlo. Voy a trasladar al vector "v" y lo voy a localizar en el punto "C", esa serÃa mi resta. Recuerden, lo que tenemos es un vector que trasladado, esta es la resta y la trasladé a donde terminaba el otro vector. ¿Qué les parece? Dense cuenta que trabajar con vectores es siempre tener en mente que puedo generar un plano entre los dos vectores que voy a sumar o restar y sobre ellos puedo hacer la operación, si quiero hacerlo geométricamente. Si lo quiero hacer algebraicamente está muy sencillo porque la suma es suma de componente a componente y la resta también, es la resta componente a componente. Espero que este video haya sido de su ayuda. Nos vemos en el próximo. Saludos.