Guten Tag, willkommen zur Vorlesung der allgemeinen Physik an der EPFL. In dieser Lektion werden wir sehen wie man die Newtonsche Mechanik anwenden kann, wenn man mit einem Bezugssystem arbeitet, welches beschleunigt wird im vergleich zu einem Inertialsystem. Zuerst werden wir die Kinematik explizit mit den Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in dem beschleunigten Bezugssystem berechnen und schauen wie wir die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen im Intertialsystem erhalten kann. Bei dieser Arbeit werden wir die bekannte Corioliskraft entdecken. Danach werden wir sehen wie man eine Analyse der Dynamik des Systems durchführen kann, indem man das Beschleunigte Bezugssystem benutzt und dies wird und zu den Trägheitskräften führen. Ich beginne mit meiner Definition der Bezugssysteme. Da ich mit einem Inertialsystem arbeiten möchte und mit einem andern welches auch beschleunigt sein kann, werde ich aus praktischen Gründen von einem absoluten Bezugssystem, das ist das Inertialsystem, und einem relativen Bezugssystem, das Beschleunigte, reden. Hier ist ein Schema der Situation. Einerseits haben wir ein Inertialsystem, mittig, verkörpert durch ein Koordinatensystem, mittig oben, und ich gebe die Koordinaten <i>x1</i>, <i>x2</i>, <i>x3</i>, für das Interialsystem. Jetzt nehme ich an, dass ich mich für ein anderes Bezugssystem interessiere, welches beschleunigt ist im Vergleich zu dem Ersten, welches dur ein Achsensystem <i>A</i><i>y1</i>, <i>y2</i>, <i>y3</i> verkörpert wird. Dies ist mein relatives Bezugssystem, oder, also, beschleunigt im Vergleich zum Intertialsystem. Jetzt muss ich darlegen wie dieses Bezugssystem hier sich im Vergleich zum ersten bewegt. Nun, zum einen werde ich die Zeit-Weg-Funktion des Punkts <i>A</i> geben. Andererseits muss ich darlegen wie dieses Achsensystem sich mit der Zeit entwickelt, wie es sich in der Zeit neu orientiert. Um dies zu tun gebe ich mir Einheitsvektoren entlang der Achsen, <i><b>y1</b></i>, <i><b>y2</b></i>, <i><b>y3</b></i>, und ich werde, hier ist mein Bezugssystem, und ich werde die Poissonschen Formeln anwenden mit hier dem Vektor <i><b>Ω</b></i>, welcher beschreibt wie sich das Koordinaten, entschuldigung, wie dieses Bezugssystem, es ist sehr wichtig die nicht zu verwechseln, wie das Bezugssystem <i>A</i><i>y1</i>, <i>y2</i>, <i>y3</i> sich im Vergleich zu unserem Inertialsystem neu orientiert. In der Praktik werden wir uns so etwas wie ein Karussell vorstellen, oder die Bewegung der Dynamik auf der Erdoberfläche, also die Erde die um ihre eigene Achse dreht, wir haben also eine unübersehbare Achse, auch für das Karussell, folglich ist die Richtung von <i><b>Ω</b></i> sofort ersichtlich in diesen Problemen. Jetzt möchte das definieren, was ich relative Geschwindigkeit und Beschleunigung nennen werde, das heisst, diejenigen im Bezug zu <i>A</i><i>y1</i>, <i>y2</i>, <i>y3</i>. Um dies zu tun werde ich die Position des Punktes <i>P</i> in diesem Bezugssystem feststellen. Ich werde die kartesischen Koordinaten <i>yi</i> benutzen. Ich schreibe also die Projection des Vektors <i><b>AP</b></i> auf dieses Koordinatensystem. Wenn ich jetzt einfach dur die kartesische Koordinate nach der Zeit ableite, dann habe ich die Geschwindigkeit des Punktes <i>P</i> im Bezug zu <i>A</i><i>y1</i>, <i>y2</i>, <i>y3</i> gemessen. Ich werde sie also <i><b>v</b>r</i> nennen, das <i>r</i> hier steht für relativ, also für dieses Bezugssystem hier. <i><b>v</b>r</i> von <i>P</i> ist also die Summe der Ableitungen nach der Zeit der Koordinaten des Punktes <i>P</i> mal der Einheitsvektoren meines Koordinatensystems. Für die Beschleunigung ist es selbstverständlich das Selbe, es genügt eine zweite Ableitung nach der Zeit der kartesischen Koordinaten des Punktes <i>P</i> zu machen. Hier haben wir also die relative Geschwindigkeit und die relative Beschleunigung des Punktes <i>P</i>. Ich komme jetzt zur Berechnung der absoluten Geschwindigkeit. Ich nehme wieder mein System mit den zwei Bezugssystemen, ich habe den Punkt <i>O</i> des Inertialsystems und den Punkt <i>P</i>, hier. Die absolute Geschwindigkeit, das ist die Geschwindigkeit des Punkts P im Bezug zu diesem Bezugssystem hier. Ich muss also die zeitliche Ableitung von <i><b>OP</b></i> berechnen. Dies werden wir die absolute Geschwindigkeit des Punkts <i>P</i> nennen. Wir werden diese Dekom- position des Vektors <i><b>OP</b></i> benutzen, da <i><b>OA</b></i> gegeben ist und daher, wenn ich die Ableitung explizit ausreche, so habe ich diesen Ausdruck hier, welcher nichts anderes als die Geschwindigkeit im Bezug zum Inertialsystem ist, also die absolute Geschwindigkeit des Punktes <i>A</i>. Hier habe ich die zeitliche Ableitung des Vektors <i><b>AP</b></i>, und ich muss jetzt aufpassen, da ich jetzt, <i><b>AP</b></i> so geschrieben, zwei Ausdrücke habe, die erscheinen werden. Wenn ich die Kordinate nach der Zeit ableite, diesen Term hier, und diesen da habe ich schon als jenen identifiziert welcher die relative Geschwindigkeit des Punkts P ist. Und jetzt, diesen Term da, den kann ich dank den Poissonschen Formeln audrücken, so wie hier. Jetzt kann ich diese Ausdrücke hier nehmen und sie mit den anderen Ausdrücken, die von <i>i</i> abhängen, zusammentun und dies ergibt mir eine Summe über <i>i</i> der <i>yi</i>, <i><b>yi</b> Hut </i>, und das, dieser Ausdruck hier, ist der Vektor <i><b>AP</b></i>. Ich habe also <i><b>Ω</b></i> ^ <i><b>AP</b></i>. So, ich habe die absolute Geschwindigkeit des Punktes <i>P</i> gefinden, ausgedrückt als Funktion der Geschwindigkeit das Punktes <i>A</i>, dieser Punkt <i>A</i>, die relative Geschwindigkeit des Punktes <i>P</i>, die Geschwindigkeit des Punktes <i>P</i> von diesem System hier her gesehen. Wir haben diesen Ausdruck mit der Rotation <i><b>Ω</b></i> ^ <i><b>AP</b></i> der erscheint. Ich schaue mir nun die absolute Beschleunigung an. Ich kann mein Schema mit den zwei Bezugssystemen wieder hervornehmen, ich verwende erneut die Formel für die absolute Beschleunigung des Punkts <i>P</i>. Wenn man die absolute Geschwindigkeit des Punktes <i>P</i> nimmt und man sie nach der Zeit ableitet, dann erhält man die absolute Beschleunigung des Punktes <i>P</i>, so wie hier. Dies ist die absolute Beschleunigung des Punktes <i>P</i>, ein Vektor. Hier, die Ableitung, die absolute Geschwindigkeit des Punktes <i>A</i>, dies ist die absolute Beschleunigung des Punktes <i>A</i>. Dieses <i><b>v</b>r</i> von <i>P</i>, ihr erinnert euch das es zwei Ausdrücke hat, wir müssen also aufpassen. Danach müssen wir diesen Ausdruck nach der Zeit ableiten. Ich wende die Ableitung einmal auf <i><b>Ω</b></i> und dann auch <i><b>AP</b></i> an. Hier haben wir eine Ableitung nach der Zeit von dieser Summe hier. Es wird zwei Ausdrücke haben die erscheinen, und hier, noch einmal. Wenn wir die Ableitung auf den Vektor <i><b>y</b>i</i> anwenden, mit den Poissonschen Formeln und indem wir die Ausdrücke neu anordnen, erhalten wir ein <i><b>Ω</b></i> ^ <i><b>v</b>r</i>. Wenn ich nun die Ableitung hier auf die <i><b>y</b>i</i> anwende, so erhalte ich ein <i><b>v</b>r</i>. Hier haben wir also ein <i><b>Ω</b></i> ^ <i><b>v</b>r</i>, und hier ein zweites. Wenn ich jetzt die Ableitungen von <i><b>y</b>i</i>hervorhebe, der Vektoren nach der Zeit, ich benutze die Poissonschen Formeln und gruppieren die Ausdrücke, so erhalte ich <i><b>Ω</b></i> ^ <i><b>AP</b></i>, folglich haben wir <i><b>Ω</b></i> ^ (<i><b>Ω</b></i> ^ <i><b>AP</b></i>). Es bleibt noch ein Term. Wenn ich diese Koordinate hier nach der Zeit ableite, das haben wir gesehen, dann erhalten wir die relative Beschleunigung des Punkts <i>P</i>. Ich gruppiere die Ausdrücke und erhalte die gewünschte Formel, es ist die längste Formel dieses Kurses über die Mechanik. Die absolute Beschleunigung des Punkts <i>P</i>, ausgedrückt mit der absoluten Beschleunigung des Punkts <i>A</i>, der relativen Beschleunigung des Punkts <i>P</i>, der Beschleunigung von <i>P</i> von diesem Bezugssystem her gesehen und den Ausdrücken die von der relativen Geschwindigkeit des Punktes <i>P</i> abhängen, also von der Geschwindigkeit in dem Bezugssystem <i>A</i><i>y1</i>, <i>y2</i>, <i>y3</i> und wir haben noch die Ausdrücke die von der Rotation kommen. Wir haben alle diese Ausdrücke hier. Ich schreibe diese Formel nochmals auf, und jetzt ist dieser Ausdruck hier unter dem Namen Coriolisbeschleunigung bekannt und dieser als Zentripentalbeschleunigung. Es ist möglich die physikalische Bedeutung dieser Ausdrücke zu verstehen indem wir uns ein kleines Beispiel anschauen. Ich schlage vor euch die folgende Situation vorzustellen: wir schauen ein Karussell wie dieses hier an, eine Platform die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht, hier ist mein <i><b>Ω</b></i>, die Platforme dreht sich also so rum. Ich stelle mir jetzt einen Massepunkt <i>P</i> vor, welcher auf der Platform festgemacht ist. Und wir definieren <i>A</i>, welcher wir gleich <i>O</i> setzen, als einen Punkt auf der Rotationsachse. Dieser Ausdruck hier ist also gleich Null, der Punkt P bewegt sich nicht auf der Platform, dieser Ausdruck ist auch gleich Null, die relative Geschwindigkeit sit gleich Null, dieser Term hier fällt auch. Ich werde annehmen, dass <i><b>Ω</b></i> konstant ist, dieser Ausdruck fällt weg. Es bleibt nur noch dieser hier über und dieser Ausdruck hier sieht aus wie eine Zentripetalbeschleunigung, was natürlich auch der Fall ist, da im Bezugssystem des Bodens, also dem absoluten Bezugssystem, mein Massenpunkt ein Kreis beschreibt, wenn <i>P</i> auf dem Karussell festgemacht ist und das Karussell sich dreht. Hier also der Ursprung des Ausdrucks Zentripetalbeschleunigung. Wenn ich jetzt noch einmal ein Karussell nehme, eine konstante Geschwindigkeit <i><b>Ω</b></i>, aber diesmal nehme ich an, dass der Massepunkt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer, auf das Karussell gemalten, Linie bewegt, also dem <i><b>v</b></i> von <i>r</i>, mein Massepunkt wir hier sein und men <i><b>v</b></i> von <i>r</i> ist so hier. Diese Geschwindigkeit hier ist die Geschwindigkeit im Verhältnis zum Karussell. Jetzt mache ich eine Skizze des Karussells von oben, diese Linie, die ich hier gezeichnet habe, ich zeichne sie zu drei Momenten, eins, zwei, drei, die Momente <i>t1</i>, <i>t2</i> et <i>t3</i>, die ich gewählt habe damit der Massenpunkt gerade vor der Achse ist. Bei <i>t2</i> ist er auf der Achse und bei <i>t3</i> ist er gerade danach. Was stelle ich fest? Ich stelle fest, dass meine Flugbahn im Inertialsystem, im Bezugssystem des Bodens, eine Kurve beschreibt, so wie hier. Daher muss es eine Komponente der Beschleunigung geben, wie hier, ich habe eine Abweichung nach Links und eine Komponente der Beschleunigung die auch nach Links gerichtet sein muss, nun, dieses <i><b>Ω</b></i> ^ <i><b>v</b>r</i>, <i><b>Ω</b></i> ^ <i><b>v</b>r</i> mit meiner rechten Hand, zeigt in diese Richtung hier, es ist also dieser Term hier. Dies ist eine Art zu erkennen, dass man diesen Coriolisterm haben muss. Kommen wir nun zur Dynamik. Nun, das zweite Gesetz Newton's sagt uns, für einen Massenpunkt, dass die Summe der Kräfte gleich der Masse mal der Beschleunigung ist, der Beschleunigung, gemessen in einem Inertialsystem. Mit unserem neuen Vokabular, wir schreiben hier <i><b>F</b></i> für die Summe der Kräfte, und hier schreiben wir: Masse mal absolute Beschleunigung des Punkts <i>P</i>, die Beschleunigung, gemessen im Inertialsystem. Wenn wir unsere grosse Formel anwenden, so sind dies die Ausdrücke die wir erhalten, mit der relativen Beschleunigung, hier, der relativen Geschwindigkeit, da und an den anderen Ausdrücken. Jetzt, wenn wir unbedingt Newtonsche Mechanik machen wollen und alleine mit dem beschleunigten Bezuggsystem arbeiten wollen, so wollen wir etwa folgendes Schreiben mit der relativen Beschleunigung in Bezug zu diesem System. In diesem Fall müssen wir folgendes tun, wir müsse all dieser Ausdrücke hier auf die andere Seite des Gleichheitszeichen bringen, dies ergibt folgendes. Hier haben wir die Masse mal die relative Beschleunigung gleich der Kraft, dies ist die Summe aller Kräfte die wir schon vorher hatten und danach haben wir all diese Ausdrücke, welche auch vorkommen, welche das Vorzeichen geändert haben, da wir sie auf die andere Seite der Gleichung gebracht haben. Dieser Term hier, in dem Moment, wenn <i><b>Ω</b></i> ^ <i><b>AP</b></i> zentripetal ist, zeigt in die Mitte, mit dem Minuszeichen, zeigt er nach aussen, dies nennt man die Zentrifugalkraft. Dieser Term hier wird Corioliskraft genannt.
