[MUSIQUE] [MUSIQUE] Tout le monde se sert d'un GPS. Pour trouver son chemin en voiture ou en randonnée, pour retrouver ses amis ou encore jouer à des jeux de piste sur son téléphone. Ce système de positionnement mondial, Global Positioning System en anglais, est capable de repérer notre position avec une précision phénoménale. Mais comment fonctionne-t-il? C'est ce que nous allons découvrir, et la physique fondamentale y joue un rôle essentiel. Commençons par une analogie. Imaginons qu'Alice souhaite rendre visite à son vieil ami Bob, qui élève des pigeons voyageurs. Alice a déjà fait une partie du chemin hier et se repose aujourd'hui. Pour aider Alice à évaluer la distance qui reste à parcourir aujourd'hui, Bob lui envoie un pigeon voyageur avec le message suivant. À l'heure où j'écris ces lignes, il est 14 h. Imaginons qu'Alice reçoive ce message à 18 h, soit quatre heures après que Bob l'a envoyé. Alice sait que les pigeons de Bob volent toujours en ligne droite, à environ 50 km/h. Elle peut donc déduire qu'elle se trouve à 200 km du domicile de Bob. Plus généralement, si l'on reçoit un message dont on sait d'où et quand il est parti, on peut déduire où l'on se trouve, à condition de connaître la vitesse de transmission du message. Imaginons que le pigeon ne porte plus qu'une information beaucoup plus vague, du type ce pigeon est parti dans l'après-midi. Si l'après-midi est la période de temps comprise entre midi et 16 h, Alice peut-elle toujours de repérer par rapport à Bob? Elle sait que le pigeon a volé entre deux et six heures, mais elle ne peut pas être plus précise. Elle se trouve donc à une distance comprise entre 100 et 300 km. La précision du positionnement dépend donc directement de la précision selon laquelle le temps est mesuré dans le message envoyé. Jusqu'à présent, nous avons supposé qu'Alice ne connaissait pas sa distance jusqu'à Bob, mais qu'elle savait la direction à prendre. Imaginons maintenant qu'Alice se soit perdue au cours de son voyage, et qu'elle ne sache plus où elle se trouve. Lorsque Alice reçoit à 18 h le pigeon envoyé à 14 h, elle sait qu'elle se situe à une distance de 200 km du domicile de Bob. Mais où? Sur un cercle de 200 km de rayon, centré autour du domicile de son ami. Supposons maintenant qu'au même moment où Alice reçoit le message du pigeon de Bob, un deuxième pigeon voyageur arrive. Il a été envoyé par sa fille Ève, restée à la maison. Le message d'Ève indique, ici il est midi. Puisqu'il est toujours 18 h, le pigeon d'Ève a parcouru une distance de 300 km. Alice est donc précisément située à 300 km de sa maison, et à 200 km de celle de Bob. Pour trouver la position exacte d'Alice, il suffit de tracer les deux cercles correspondants, centrés sur les deux maisons. C'est le principe de la triangulation. En fait, les cercles se coupent en deux points, donc il existe encore deux endroits possibles. Pour savoir exactement où est Alice, il faudrait donc utiliser un troisième pigeon. Il suffit donc de connaître le point de départ des pigeons, et la distance parcourue par chacun d'eux, pour trianguler sa position. Revenons maintenant au vrai système GPS. Il n'est évidemment pas composé de pigeons, mais d'une flotte de 32 satellites qui orbitent à une altitude de 20 200 kilomètres autour de la Terre. Ceux-ci effectuent chaque jour deux révolutions complètes, c'est-à -dire deux tours complets autour de la Terre. Leur vitesse de déplacement est d'environ 14 000 km/h. Ce nombre de 32 satellites a été choisi pour qu'à chaque instant, quatre d'entre eux au moins soient visibles, quel que soit l'endroit où l'on se situe sur notre planète. Chacun de ces satellites contient à son bord une horloge atomique extrêmement précise, qui émet en permanence des messages sous forme d'ondes électromagnétiques. Ces messages contiennent la date et l'heure, ainsi que la position précise du satellite au moment où le message est envoyé. Nous connaissons la vitesse de déplacement de ces ondes, c'est la vitesse de la lumière, ce qui nous permet de trianguler notre position. Une petite variation néanmoins, le problème est à trois dimensions. Il faut donc tracer des sphères, et non plus des cercles, pour connaître notre position. Revenons un instant sur la précision temporelle nécessaire au bon fonctionnement du système GPS. Les ondes se déplacent à la vitesse de la lumière, c'est-à -dire environ 300 000 km/s. Supposons que nous voulons connaître notre position à 10 m près. L'erreur maximale à faire sur le moment d'émission est de 30 nanosecondes, soit 30 milliardièmes de seconde. Les horloges atomiques sont capables de mesures encore plus précises que cela. Mais à un tel niveau, il faut commencer à prendre en compte de nombreux effets subtils, qui dépassent la mécanique classique de Galilée et Newton. Selon la théorie de la relativité restreinte, postulée par Einstein en 1905, la durée mesurée d'un événement dépend du référentiel dans lequel on la mesure, selon qu'il s'agit du référentiel du satellite et de celui mesuré sur la Terre. La différence dépend de la vitesse relative du satellite par rapport à la Terre, et devient de plus en plus sensible lorsque cette vitesse est élevée. Le facteur correctif dû à la relativité restreinte dépend de la vitesse d'un référentiel par rapport à l'autre. Sur une journée, le temps mesuré dans le satellite est de 7 microsecondes plus court que si l'on le mesurait sur la Terre. À cela s'ajoutent les effets venant de la théorie de la relativité générale, également formulée par Einstein en 1915. En effet, le temps mesuré dans un référentiel dépend de la valeur du champ de gravitation. En ce qui concerne les corrections de relativité générale, il nous faut calculer la valeur de la pesanteur à l'altitude des satellites. À 20 200 km d'altitude, La valeur du champ de pesanteur est environ 17 fois plus faible que sur la Terre. Le calcul correspondant de la relativité générale montre que sur une journée, le temps mesuré dans le satellite est de 45 microsecondes plus long que si l'on le mesurait sur la Terre. En faisant le bilan de ces deux corrections relativistes, on trouve que le temps mesuré à bord des satellites est plus court d'environ 38 microsecondes que le temps mesuré sur la Terre, sur une période d'une journée. En d'autres termes, si vous ne prenez pas en compte ces effets, la position mesurée grâce au système GPS serait fausse d'environ 10 km au bout d'une journée. Le GPS n'aurait donc fonctionné avec une précision de 10 m que pendant les 68 premières secondes de son existence. Nous avons donc vu que le GPS s'appuie sur des satellites qui envoient en permanence des messages indiquant l'heure exacte de leur émission. En captant ces messages et en connaissant la vitesse de la lumière, nous pouvons reconstruire notre position par triangulation. Mais pour cela, il faut tenir compte d'effets qui dépassent la mécanique classique et qui affectent la mesure du temps, entre le référentiel de chaque satellite et celui de la Terre. Sans les travaux d'Einstein au début du XXème siècle et ses théories de la relativité qui peuvent nous sembler si éloignées de nos préoccupations quotidiennes, nous n'aurions jamais pu fabriquer le système GPS. [MUSIQUE] [MUSIQUE] [MUSIQUE] [MUSIQUE]
