Bonjour et bienvenue à ce sixième cours d'optique non linéaire où nous allons nous intéresser au mélange à trois ondes. Plus précisément dans cette video nous allons considérer les processus d'addition de fréquences et de différence de fréquences entre deux faisceaux de fréquence oméga un et oméga deux pour nous donner une fréquence oméga trois, et on va considérer la propagation de ces trois faisceaux un, deux et trois, dans le milieu. C'est donc une généralisation de ce qu'on a vu la semaine dernière où l'on n'avait que deux fréquences : le fondamental et le faisceau doublé, et ici on aura trois ondes en interaction dans notre matériau. Considérons donc l'interaction entre trois ondes, planes, monochromatiques, de fréquences oméga un, oméga deux et oméga trois, dans un matériau caractérisé par sa susceptibilité khi deux. Par convention on va supposer que oméga un est strictement inférieur à oméga deux, et strictement inférieur à oméga trois, donc ce sera un choix de classement des fréquences : oméga trois sera toujours la plus grande des trois fréquences. Et on va évidemment supposer que oméga un plus oméga deux est égal à oméga trois pour que le processus d'addition de fréquences entre les ondes un et deux pour donner l'onde trois soit possible. Alors remarquez que dans ces conditions on aura également la relation oméga trois moins oméga deux qui est égale à oméga un. Donc on pourra avoir différence de fréquence entre l'onde trois et l'onde deux pour donner l'onde oméga un, et puis évidemment oméga trois moins oméga un égal à oméga deux, ce qui correspond à ce qui est représenté ici, où vous avez deux ondes incidentes : une de fréquence oméga trois, l'onde de fréquence oméga un, qui par différence de fréquences donnent naissance à une onde oméga deux. Il faut bien comprendre que ces trois processus : les deux processus de différence de fréquences et le processus d'addition de fréquences, pourront être présents simultanément. Et ce sera en fait les conditions initiales qui nous permettront de dire que l'on a plutôt affaire à l'un ou à l'autre, mais en réalité dans le cristal, on aura simultanément affaire à ces trois processus, il seront nécessairement simultanés. On va considérer la grandeur delta k qui généralise le delta k qu'on avait vu la semaine dernière dans le cas du doublage de fréquence, donc rappelez-vous, dans le cas du doublage de fréquence, delta k c'était égal au vecteur d'onde à la fréquence deux oméga moins deux fois le vecteur d'onde à la fréquence oméga. Le doublage de fréquence, on peut voir cela comme l'addition de fréquences du fondamental avec lui-même, donc cette expression généralise parfaitement ce que l'on a vu la semaine dernière : c'est le vecteur d'onde de l'onde produite à la fréquence somme moins la somme des vecteurs d'onde qui lui ont donné naissance par ce processus d'addition de fréquences. On va faire une hypothèse très importante qui est que delta k sera supposé proche de zéro, ce qui signifie que ces trois processus-là sont proches de l'accord de phase, et c'est cela qui va nous permettre de nous limiter à ces trois ondes. C'est la raison pour laquelle on parlera de mélange à trois ondes. Par exemple le processus qui, par addition de fréquences entre oméga deux et oméga trois, nous donnera une nouvelle fréquence oméga quatre, serait en principe possible. Mais il va correspondre à une autre condition d'accord de phase qui ne sera pas vérifiée a priori quand on a cette hypothèse, et donc on pourra négliger cet effet, et considérer que son efficacité est extrêmement faible. Donc on va se limiter dans cette vidéo à ces trois ondes, à ce problème de mélange à trois ondes. On va utiliser une variable réduite, la variable alfa l, qui est égale à racine carrée de nl, l'indice de réfraction pour le mode l, fois la vitesse de la lumière, fois epsilon zéro, divisé par 2 h barre oméga l multiplié par l'enveloppe du champ ; hbar est la constante de plan réduite, c'est à dire h divisé par deux Pi. Cela peur paraître étrange de faire apparaître la constante de plan dans un cours d'optique classique, on ne fera pas ou peu d'optique cantique dans ce cours, mais vous verrez que cela nous permettra d'interpréter ce qu'on va voir en termes de photons. Alors précisément on va considérer la quantité alfa l en module au carré, qui est simplement égale à cela, et si je regarde cette quantité, et bien vous voyez que c'est le rapport entre cette grandeur-là , nl, c, epsilon zéro, fois le carré du champ divisé par deux, et ça ce n'est autre que le vecteur de poyinting dans notre milieu. Le facteur un demi, provient du fait qu'on a une onde sinusoïdale, et donc que la valeur moyenne du sinus carré vaut un demi. On a ici en fait la densité de puissance dans le milieu où donc, je le répète, le vecteur de poyinting. Cette densité de puissance c'est, par définition, la quantité d'énergie par unité de surface et par unité de temps. C'est une grandeur qui va s'exprimer en joule par mètre carré, et par seconde. Si maintenant vous divisez par h barre oméga l, qui est l'énergie d'un photon, et bien l'énergie totale dans votre faisceau, divisée par h barre oméga l, cela vous donne le nombre de photons que vous avez dans le faisceau, et si vous divisez par la surface et par le temps, et bien vous avez le flux de photons. Le nombre de photons par unité de temps et par unité de surface associés à notre onde l. Et donc évidemment cette grandeur, ce flux de photons, va jouer un rôle important dans les relations de conservation que nous allons maintenant établir. Pour établir les équations de propagation dans notre milieu non linéaire dans ce problème de mélange à trois ondes, on va naturellement partir de la polarisation non linéaire d'ordre deux qui pourra s'écrire comme epsilon zéro khi deux fois le carré du champ total et le champ total est évidemment la somme des trois champs E un, E deux et E trois, associés aux trois ondes considérées. On va évidemment faire usage de la notation complexe, c'est à dire qu'on écrira que le champ E l est égal à E l plus E l étoile divisé par deux. Cela nous permet d'écrire la polarisation non linéaire d'ordre deux sous la forme : epsilon zéro, khi deux divisé par quatre, puisque j'aurai ici le facteur un demi qui élevé au carré va me donner un quart, multiplié par la somme des trois champs et des complexes conjugués, donc j'aurai E un, plus E un étoile, plus E deux, plus E deux étoile, plus E trois, plus E trois étoile, le tout au carré. Quand on va développer ce carré on va avoir différents termes, on aura bien sûr E un au carré, cela va correspondre au doublage de fréquence du premier faisceau, mais comme je l'ai dit, on va supposer que ce phénomène ne vérifie pas la condition de l'accord de phase, ou en est très très loin, et donc que son efficacité sera négligeable. Donc cela ne va pas nous intéresser. En fait, la seule chose qui va nous intéresser ce sera les processus qui donneront naissance à des polarisations, à des fréquences correspondant aux trois ondes qu'on a conservées. Donc les fréquences oméga un, oméga deux et oméga trois. Donc je peux effectivement avoir ces processus, par exemple si je cherche comment je peux faire la fréquence oméga un quand j'élève ces différents termes. Je vous rappelle la relation qu'on avait supposée au début : oméga un plus oméga deux est égal à oméga trois, Si je veux obtenir la fréquence oméga un il va falloir que je prenne le champ E trois et que je le multiplie par E deux étoile, comme cela j'aurai un terme qui va osciller à la fréquence oméga trois moins oméga deux, c'est à dire à la fréquence oméga un. Et ce sera la seule façon, en fait, d'obtenir ce terme de fréquence oméga un. Donc pour avoir E deux étoile, e trois, quand je développe ce carré, il y a deux façons de la faire : j'aurai un double produit tout simplement. Et donc si je m'intéresse à ces termes-là , je vais avoir epsilon zéro, khi deux, divisé par deux puisque j'aurai des doubles produits, et j'aurai donc le terme dont je viens de parler : E trois E deux étoile qui va me donner quelque chose qui va osciller à la fréquence oméga un. Si je veux un terme qui oscille à la fréquence oméga deux, et bien évidemment je vais faire E trois, E un étoile, et enfin si je veux la fréquence oméga trois, donc oméga trois c'est oméga un plus oméga deux, il suffit de multiplier E un par E deux. Donc en prenant le double produit entre ces deux termes. J'aurai évidemment les complexes conjugués, associés à ces trois termes, et puis donc d'autres termes dont j'ai dit qu'ils ne m'intéressaient pas. Donc c'est la polarisation linéaire du second ordre, que je vais écrire sous la forme : P rond plus P rond étoile, divisé par deux, toujours en notation complexe Donc le facteur deux qui est ici va s'annuler avec celui-ci. Cela me permet d'écrire directement l'expression de la polarisation non linéaire associée à la fréquence oméga un, ce sera le premier terme ici, donc on avait vu qu'il oscillait à la fréquence oméga un, donc ce sera epsilon zéro, khi deux, fois E trois, E deux étoile, de la même manière j'aurai la polarisation P deux, donc il suffira d'échanger le rôle joué par les ondes un et deux pour l'obtenir, donc pour obtenir P deux j'aurais epsilon zéro khi deux, multiplié par E trois et E un étoile, donc ça correspond à ce terme-là dans le développement de la polarisation, et enfin le terme P trois, va correspondre lui au produit E un E deux, donc il s'écrira epsilon zéro, khi deux, multiplié par E un, E deux. Donc voilà les trois termes sources qui vont pouvoir intervenir dans les équations de propagation. Ces trois termes sources que vous avez reportés ici, on va les réécrire en utilisant, je vous rappelle l'expression de, du champ complexe El en fonction de l'enveloppe du champ, on avait vu que El on l'écrivait Al multiplié par exponentielle i kl z, donc si on fait ça et qu'on le remplace, on obtient les trois expressions qui sont indiquées ici, où vous remplacez les E ronds par des A ronds, avec les complexes conjugués là où il faut, et puis vous avez, vous faites apparaître ici des différences ou des sommes de vecteurs d'onde, des ondes considérées. Donc on a nos trois termes de polarisation associés aux trois ondes, et il suffira ensuite d'appliquer l'équation de propagation que nous avons établie il y a deux semaines dans le cas d'une onde plane monochromatique, ou d'un ensemble d'ondes planes monochromatiques. Où on avait vu que la dérivée par rapport à z de l'enveloppe du champ, c'était égal à un terme source faisant apparaître la polarisation oscillant à la bonne fréquence, et multipliée par exponentielle moins i k l z qui était l'exponentielle i k l z du champ, qu'on avait fait passer dans le membre de droite ici de l'équation. Donc si je calcule maintenant la propagation par exemple du champ à la fréquence oméga trois, obtenue par somme de fréquences, eh bien je vais avoir d A trois sur d z, égal, il suffit de remplacer ici, donc j'aurais i oméga trois, divisé par deux n trois epsilon zéro c, la polarisation P trois, donc c'est celle qui est indiquée ici, qui vaut epsilon zéro khi deux, multiplié par A un, A deux, et multiplié par exponentielle, donc ici j'ai la phase spatiale du terme source de la polarisation, donc exponentielle i k un, plus k deux, et moins k trois, z qui va apparaître. Alors ici on reconnaît justement l'opposé de la grandeur qu'on avait appelée delta k Delta k je vous rappelle c'était k trois moins k un moins k deux. Par ailleurs, on va pouvoir simplifier par epsilon zéro, et donc on obtient l'expression de la dérivée de A trois par rapport à z, c'est tout simplement i oméga trois divisé par deux n trois c khi deux, et puis j'ai A un A deux, c'est un processus d'addition de fréquences, donc j'ai les deux champs qui interviennent directement, et puis multiplié par exponentielle moins i delta k z. Alors de la même manière on va pouvoir écrire les équations de propagations pour A un et A deux, si je considère par exemple l'évolution de l'onde deux, qu'est-ce qui va changer? Pas grand chose, ici je vais remplacer, je vais mettre oméga deux et m deux à la place de oméga trois et m trois, donc j'aurai le début sera exactement le même qu'ici. Donc j'aurai i oméga deux, khi deux, divisé par deux n deux c, ensuite à la place de A un A deux eh bien j'aurai évidemment le terme source correspondant pour l'onde deux, qui s'écrit A trois A un étoile, puisque je veux par différence de fréquence je veux produire un champ à la fréquence oméga trois moins oméga un égal oméga deux, donc c'est bien le terme A trois A un étoile qui va apparaître, et puis le terme de phase ici, ça va être exponentielle i k trois moins k un, moins k deux, et donc cette fois-ci ce sera exponentielle i delta k z. Donc avec un signe plus par rapport à ce qu'on avait obtenu ici. Et puis d A un sur d z, je ne l'écris pas parce que à nouveau donc les ondes un et deux vont jouer le même rôle, il suffira d'échanger partout dans cette expression les indices un et deux donc j'aurai oméga un sur n un, et ici j'aurais évidemment A deux étoile, et ce sera toujours delta k, puisque quand j'échange un et deux k trois moins k un moins k deux ne change pas.
