Bonjour et bienvenue à ce quatrième cours d'optique non linéaire où nous allons précisément nous intéresser à la propagation d'un faisceau lumineux en régime non linéaire, c'est-à -dire en supposant qu'il existe une polarisation non linéaire dans le milieu. Nous n'allons pas cette semaine nous intéresser à l'origine ou aux processus non linéaires précis qui seront impliqués dans l'induction de cette polarisation linéaire, mais nous verrons comment cela agit sur l'équation de propagation du faisceau lumineux et nous allons établir un certain nombre d'équations de propagation selon le cas considéré. Dans cette première vidéo, nous allons considérer le cas particulier important où nous avons dans notre milieu une superposition d'un certain nombre d'ondes monochromatiques. Nous allons donc partir de l'équation de propagation que nous avons établie la semaine dernière, avec un terme source, ici, qui fait apparaître la dérivée seconde de la polarisation par rapport au temps. Pour établir cette équation de propagation, à aucun moment nous n'avions fait d'hypothèse sur cette polarisation, qui peut donc être soit une polarisation linéaire, soit une polarisation non linéaire comme ce sera le cas aujourd'hui. Donc on va faire un développement de la polarisation en puissance du champ électrique, en écrivant donc la polarisation P sous la forme de P un plus P deux plus P trois, et on obtient donc cette équation. Alors, pour progresser, on va prendre le terme ici, correspondant à la polarisation linéaire, et le faire passer dans le membre de gauche de l'équation pour mettre du même côté tout ce qui concernera l'optique linéaire en laissant dans le membre droite le terme source correspondant à l'optique non linéaire. Par ailleurs, on va, comme on a déjà fait, négliger ce terme, gradient divergence E, soit parce que on sera dans un matériau isotrope, soit parce que le phénomène de double réfraction, que nous verrons prochainement, pourra être négligé parce que les angles correspondants seront très faibles. En utilisant le champ complexe, ceci nous permet d'aboutir à cette équation de propagation non linéaire telle qu'elle est décrite ici donc avec de nouveau, dans le membre de gauche, la partie linéaire, donc un opérateur différentiel linéaire agissant sur le champ électrique, avec également la réponse linéaire qui va intervenir ici, et puis dans le membre de droite l'ensemble des termes non linéaires que nous avons ici et qui donc vont faire l'objet de la réponse non linéaire du matériau. Alors, cette équation de propagation, on va la manipuler dans deux cas distincts, qu'on va discuter cette semaine : le premier où notre champ électrique est une superposition d'ondes monochromatiques, donc une somme discrète d'ondes qui vont osciller à des fréquences oméga un, oméga deux, oméga trois, etc., et puis un deuxième cas où le champ électrique sera une superposition continue de différentes composantes de Fourier à des fréquences oméga qui varieront continuellement ce qui pourra correspondre, par exemple, au cas q'une impulsion brève ou d'une impulsion ultrabrève. Et, dans cette vidéo, nous allons discuter le premier cas, celui où le champ électrique peut être considéré comme une somme discrète d'ondes monochromatiques. Considérons donc un milieu, représenté ici en gris, dans lequel vont se propager un certain nombre de faisceaux monochromatiques, donc de fréquences oméga L bien définies, et on écrira donc le champ électrique total dans le milieu sous la forme d'une somme discrète, sur des fréquences oméga L individuelles ; donc j'aurai ici des termes exponentiels moins i oméga L T. On va en fait sommer notre champ électrique sur un certain nombre de modes discrets. Ce qu'on appellera un mode, c'est l'association d'une part, d'une fréquence, et également d'une direction de polarisations du champ électrique epsilon L, ici un vecteur unitaire, et pour chaque fréquence on pourra avoir deux modes de propagation possibles qui seront tous les deux des modes iii. Donc on va faire cette hypothèse que le champ électrique s'écrit sous cette décomposition discrète en mode, et on aura évidemment une polarisation linéaire induite dans le milieu et chaque mode de fréquence oméga L va induire une polarisation à la même fréquence, avec un pré-facteur, epsilon zéro fois qui un la susceptibilité linéaire du milieu à la fréquence oméga L. Naturellement, comme le milieu est non linéaire, si on a une fréquence oméga un et une fréquence oméga deux, on pourra avoir des processus de mélange de fréquences. On parle par exemple de l'addition de fréquences oméga un plus oméga deux ou oméga un moins oméga deux, et donc on s'attend à induire de nouvelles fréquences dans le milieu. On aura donc une polarisation non linéaire, mais qu'on va elle aussi écrire sous la forme d'une somme discrète de fréquences oméga L. Alors, ces fréquences oméga L vont par exemple comporter une fréquence oméga trois qui pourra être obtenue par addition ou différence de fréquences à partir des fréquences oméga un et oméga deux. Alors on pourrait se dire que le processus ne va jamais s'arrêter, c'est-à -dire qu'avec oméga un plus oméga deux on peut faire oméga trois, ensuite oméga un plus oméga trois va nous faire une fréquence oméga quatre, et ainsi de suite, sans que ça s'arrête jamais. Alors a priori ça ne serait pas un problème puisqu'on a ici une somme discrète mais qui peut être éventuellement infinie, donc ça prend parfaitement en compte ce cas de figure. On verra en fait dans les prochaines semaines que pour des raisons pratiques on peut assez souvent se limiter à un nombre fini de modes d'ondes monochromatiques qui vont interagir dans le milieu. Et dans tous les cas, on va ici supposer que c'est évidemment la même somme sur L qui intervient ici pour la polarisation non linéaire et pour le champ induit, puisque toute polarisation non linéaire va a priori rayonner un champ à la même fréquence. Alors, on repart de l'équation de propagation qu'on avait établie. Cette équation de propagation, avec un terme donc non linéaire dans le membre de droite, on va évidemment la développer sur les différents modes, oméga L, et on va projeter cette équation sur les vecteurs unitaires epsilon L et évidemment on va considérer à chaque fois les termes exponentiels moins I oméga L T. Donc on va identifier dans cette équation tous les termes correspondant à une même fréquence oméga L, donc tous les termes proportionnels à exponentielle moins I oméga LT. Donc si je prends une de ces fréquences oméga L, et bien je vais pouvoir écrire directement que le laplacien E, je vais avoir exponentiel moins I oméga L T en facteur, donc ça va s'écrire laplacien de E L de R La dérivée seconde par rapport au temps va évidemment me donner un terme en moins oméga L carré, donc j'aurai plus oméga L carré sur ces deux fois E L, de la même manière, la dérivée seconde de la polarisation va me donner un terme en oméga L carré sur C deux fois donc le terme correspondant à la polarisation, qui s'écrit epsilon zéro qui un de oméga L fois E L L'epsilon zéro évidemment va se simplifier avec celui qui est là , et donc on pourra mettre E L de R en facteur et écrire ce terme sous la forme un plus khi un de oméga L donc un plus khi un de oméga L multiplié par E L de R Et, on aura dans le membre de droite évidemment, toujours si je prends le terme en exponentiel moins I oméga L projeté sur epsilon L j'aurai la dérivée seconde qui me donne moins oméga L carré sur epsilon zéro C deux fois le terme de polarisation non linéaire, à la fréquence oméga L, projeté sur le mode epsilon L que j'ai appelé P L de R. Donc voilà l'équation à laquelle on aboutit pour le mode L, évidemment le terme ici en un plus qui un, on l'a déjà vu, c'est le carré de l'indice de réfraction donc l'ensemble de ce terme, on va l'appeler évidemment K de oméga L au carré. On aboutit donc à cette équation de propagation, laplacien E L plus K L carré E L égale le terme source, qui pourrait être l'optique non linéaire, donc on reconnait dans le membre de gauche l'équation de Helmholtz dont on a déjà discuté la semaine dernière, et puis un terme source donc, qui résulte des processus non linéaires dans le matériau. On a ici noté K L, le vecteur d'onde du matériau à la fréquence oméga L, qui s'écrit encore N L oméga L sur C, ou N L et l'indice de réfraction à la fréquence oméga L. Alors ce qu'on va faire, c'est la même chose que la semaine dernière, c'est-à -dire qu'on va utiliser l'approximation paraxiale et donc on va considérer que nos faisceaux se propagent selon l'axe Z, que ces faisceaux sont faiblement divergents et on va naturellement poser que le champ électrique E L de R s'écrit comme le produit d'une enveloppe A de R par une porteuse exponentielle I K L Z. Et la partie gauche de l'égalité, la partie équation de Helmholtz, va évidemment pouvoir se simplifier de la même manière que la semaine dernière. En particulier on avait vu que laplacien de E L quand on écrit E L sous la forme du produit d'une porteuse par une enveloppe, on avait le laplacien de l'enveloppe qui apparaissait, et puis deux termes supplémentaires, deux I K D A sur D Z et moins K L carré A Alors, on ne va pas refaire le développement qu'on avait fait la semaine dernière ; on avait vu que dans l'approximation des petits angles, dans ce qu'on avait appelé l'approximation paraxiale et bien, la dérivée seconde de l'enveloppe pouvait être négligée, non seulement devant le terme de dérivée première, mais également devant la somme de la dérivée seconde de A L par rapport à x et par rapport à y c'est d'ailleurs ce qu'on va appeler dans la suite le laplacien transverse de l'enveloppe AL, et on n'aura plus qu'à remplacer cette expression du laplacien dans l'équation de l moles, qu'on a ici. Alors évidemment, comme la semaine dernière, le terme en moins kl au carré multiplié par A va évidemment se simplifier avec le terme qu'on a ici, donc en remplaçant cette expression du laplacien dans l'équation de l moles, on va obtenir laplacien transverse de Al, plus le terme ici avec la dérivée première de Al par rapport à z, donc deux i kl dérivée de Al par rapport à z, comme je l'ai dit ce terme-là disparaît avec celui-ci, et donc ça multiplié par exponentiel i klz, mais que je fais passer de l'autre côté de l'équation, donc j'aurais moins oméga l carré, divisé par epsilon zéro c deux, Pl, le terme source pour le mode l, donc oscillant à la fréquence oméga l, et multiplié par exponentielle moins i klz. Voilà l'équation de propagation poure mode l avec ici un terme source. Alors il y a un cas important qu'on va considérer, c'est celui où on a une onde plane, ou un ensemble d'ondes planes, donc dans ce cas-là , ça revient à dire que l'enveloppe A, Al de x, y, z, ne dépend pas de x et y, donc j'ai Al de x, y, z, qui sera tout simplement égale à une fonction Al de z, donc évidemment dans ce cas, le laplacien transverse qui gérait les processus de diffraction va disparaître, et il me restera donc uniquement ce terme ici en d Al sur dz. Donc je vais écrire l'équation correspondante, en divisant l'équation par deux i kl, donc je vais obtenir tout simplement d Al sur dz qui sera égale à donc le terme ici, divisé par deux i kl, alors divisé par i, ça revient à multiplier par moins i, donc j'aurai un plus i au numérateur, ensuite kl, je vous rappelle que c'est nl, oméga l sur c, donc quand je vais diviser par kl, il y aura un des deux termes du carré de oméga l sur c qui va disparaître, donc j'aurais simplement i fois oméga l, divisé par, donc j'aurai un facteur deux, l'indice de réfraction, donc associé au vecteur d'onde l, et puis epsilon zéro c, fois la polarisation non linéaire induite à la fréquence oméga l, et toujours multiplié par exponentielle moins i klz. Donc voilà à quoi ressemble l'équation de propagation du mode l, dans le cas où on a affaire à des ondes planes, enfin un ensemble d'ondes planes monochromatiques. Donc en résumé, ce qu'on a vu dans cette vidéo, c'est que, dans le cas où on avait dans notre milieu une superposition d'ondes monochromatiques, et donc on pouvait écrire le champ électrique sous cette forme et la polarisation sous cette forme, donc le champ électrique ici j'ai mis l'enveloppe Al de r fois le vecteur de polarisation epsilon l et puis exponentielle i klz, la porteuse spatiale du champ, moins i oméga lt, la porteuse temporelle de notre champ, et bien si on écrit le champ sous cette forme on a obtenu deux équations qui vont être intéressantes par la suite, la première c'est l'approximation paraxiale, enfin l'équation de propagation dans le cadre de l'équation paraxiale, où on a le laplacien tranverse plus cette dérivée première de A par rapport à z qui est égale au terme source, et puis dans le cas particulier où on a affaire à des ondes planes monochromatiques, et bien le laplacien ici disparaît, et donc j'ai directement l'expression de Al par rapport à z, en fonction du terme source. Donc dans les deux cas, on a des équations différentielles qui sont des équations du premier ordre par rapport à z, donc ce sera évidemment très intéressant pour les résoudre, comme on l'a vu la semaine dernière, dans le cas de l'optique linéaire, de la propagation linéaire, alors néanmoins il faut pas se méprendre, ce qu'on ici c'est pas évidemment une équation de propagation, il faut pas oublier qu'on a un certain nombre de valeurs possibles pour l, et donc on va avoir un système d'équations différentielles du premier ordre mais qui sont des équations différentielles non linéaires couplées, puisque va intervenir dans la polarisation non linéaire ici les amplitudes des autres ondes qui interviennent dans ce mélange de fréquences ici et on en verra des exemples dès la semaine prochaine.
