Dans ce deuxième cours, nous allons nous intéresser à un outil mathématique qui a été initialement mis au point par Fourier pour résoudre un problème de propagation de la chaleur, mais qui a pris une importance considérable, et qui a été appliqué dans un très grand nombre de disciplines scientifiques très diverses, comme par exemple l’électronique, l'optique, le traitement du signal, l’acoustique, et naturellement l'optique, et en particulier l'optique non-linéaire. Dans cette première vidéo, nous allons voir comment on passe de ce qu'on appelle les séries de Fourier aux transformés de Fourier. Donc les séries de Fourier concernent des fonctions périodiques. Donc je vais d'abord considérer ici une fonction périodique réelle, une fonction périodique réelle de période T. Donc vous avez ici un exemple, une succession de coetiennes espacées par un intervalle de temps grand T. Donc c'est ma fonction grand F de t. Et ce que nous dit Fourier, c'est que il existe un ensemble de coefficients réels An et phi n, tels que cette fonction F de t puisse s'écrire sous la forme d'une série. Donc, comme représentée ici, une série de fonctions sinusoïdales, de fréquence oméga n qui s'écrivent sous la forme n fois 2 pi sut T avec n un nombre entier. Donc An va être l'amplitude de la sinusoïde, et phi n va être sa phase. Donc c'est quelque chose qu'on a déjà un petit peu évoqué la semaine dernière, en s'intéressant à l'appellation non-linéaire qu'on avait décomposée sous la forme d'une somme d'harmoniques. Là , l'élément supplémentaire, pour que ce soit plus général, c'est que il faut évidemment prendre en compte la phase phi n. Donc la fonction F de t qui est ici peut s'écrire sous la forme d'une somme de ces fonctions sinusoïdales, à condition d'ajuster convenablement leur amplitude et leur phase. Donc c'est ce qu'on va faire tout de suite en superposant donc ces différentes sinusoïdes. Donc je commence par la composante fondamentale de fréquence oméga 1 et je vais faire comme la semaine dernière, je vais ajuster l'amplitude et la phase. La différence avec la semaine dernière, c'est qu'il faut prendre soin de la phase. Et puis je peux aussi regarder ici l'erreur. L'erreur qui est représentée ici, c'est tout simplement la norme de la différence entre la fonction cible en gris et puis la fonction qu'on obtient en sommant toutes les sinusoïdes. Et je vais à chaque fois essayer de minimiser l'erreur. Donc là , pour minimiser l'erreur, on peut essayer d'ajouter le terme correspondant à n égal à zéro, c'est-à -dire un terme constant, et vous voyez que je peux effectivement minimiser l'erreur. Là , je descend à 0,65 en ajoutant une petite constante. Et puis comme la semaine dernière, on va ajouter un terme de fréquence 2Ω, et là je peux à nouveau diminuer encore l'erreur. Je suis à 0,43. je passe maintenant au terme de fréquence 3 oméga. Et maintenant le terme de fréquence 4 oméga. Et j'arrive à une assez bonne approximation de ma fonction cible. Alors je veux pas chercher à aller plus loin de cette manière là , parce qu'on va voir une méthode systématique pour obtenir les valeurs exactes de ces coefficients, pour effectivement, écrire la fonction F de t sous la forme d'une somme de sinusoïdes. Alors on vient de voir les séries de Fourier pour des fonctions réelles, c'est plus général que ça, on peut s'intéresser à des fonctions complexes, toujours une fonction F de t. Dans ce cas là , il va exister un ensemble de coefficients complexes, que j'appelle grand Cn tels que ma fonction F de t s'écrive sous la forme d'une somme d'exponentielles complexes. Donc les fonctions exponentielles qui sont représentées ici, toujours avec oméga n qui sera un multiple de la fréquence du fondamental 2 pi sur T et le multiple étant un nombre n qui maintenant pourra être positif ou négatif, donc n sera un entier relatif. Alors il peut être intéressant de s'intéresser au coefficient Fourier du complexe conjugué de la fonction F de t, donc voyez que si je prends la fonction F de t ici et que je prends son complexe conjugué, eh bien je vais devoir conjuguer le coefficient Cn et évidemment je vais conjuguer l'exponentielle -iΩnt, ce qui me donne précisément ce que j'ai ici: Cn étoile fois exponentiel plus i oméga nt. Et comme n ici est un indice muet, je peux évidemment remplacer n par moins n, et si je remplace n par moins n, eh bien, comme oméga moins n, d'après cette définition-là , c'est égal à moins oméga n, je vais pouvoir retrouver la définition d'une transformée de Fourier, c'est-à -dire une somme d'exponentielles moins i oméga nt, et on voit donc le coefficient de Fourier de la fonction F étoile de T eh bien ce sont tout simplement les coefficient C étoile moins n. Donc attention, les coefficients Fourier de F étoile de T, c'est pas Cn étoile, c'est C moins n étoile. Alors on peut en déduire une conséquence pour les fonctions réelles, puisque quand on a une fonction réelle évidemment, F de T est égal à F étoile de T, et donc il faudra que les coefficients de Fourier de F étoile de T soient les mêmes que les coefficients de Fourier de F de t, et donc que les coefficients Cn vérifient cette propriété que C moins n est égal à Cn étoile. En d'autres termes, si on connaît les coefficients de Fourier pour n positif, eh bien on connaîtra entièrement la décomposition en séries de Fourier de la fonction. Alors ça nous permet pour une fonction réelle de grouper les termes pour n positif et n négatif de cette manière-là , puisque ici, j'ai finalement j'ai C moins n, et C moins n, on sait qu'il est égal à Cn étoile, et si j'écris que Cn est égal à An sur 2, multiplié par exponentiel de i phi n, eh bien vous voyez que ce qu'on a ici, c'est tout simplement la partie réelle de An, qui est lui-même un nombre réel, mais je vais avoir exponentielle i phi n ici et puis exponentielle moins i phi n, et puis là j'ai l'exponentielle moins i oméga nt, ici l'exponentielle plus i oméga nt, donc c'est tout simplement la partie réelle de exponentielle de moins i oméga n t moins phi n. Donc je vais pouvoir écrire que c'est tout simplement égal à la somme des An cosinus oméga nt moins phi n. Et puis il reste le terme A zéro ici, ce coefficient C zéro, donc il faut évidemment supposer que A zéro est égal à C zéro. Donc voyez qu'on retrouve de cette manière-là , enfin la décomposition en séries de Fourier d'une fonction réelle. Bien, alors comment déterminer les coefficients de Fourier? Donc j'ai reproduit ici l'expression de la définition de la série de Fourier avec la définition d'oméga n. Pour déterminer ces coefficients, eh bien, on va tout d'abord remarquer, enfin calculer la valeur moyenne d'une exponentielle complexe, la valeur moyenne de l'exponentielle moins i oméga nt, définie évidemment comme 1 sur T, fois l'intégrale sur une période de l'exponentielle moins i oméga nt et dt. Donc imaginez un exponentielle complexe dans le plan Fourier si j'exponentielle moins i 2 pi surT fois T. Donc quand T varie entre moins T sur 2 et plus T sur 2, je vais faire un nombre entier de tours dans le plan complexe. Donc je vais avoir mon point complexe. Je fais un nombre entier de tours. Je vais faire un tour si n est égal à 1, je vais faire deux tours si n est égal à 2, et cetera. Naturellement, si je prends la valeur moyenne de tous ces points complexes, eh bien je vais trouver le point qui est au milieu, c'est-à -dire zéro. Donc, ce qu'on sait, c'est que la valeur moyenne de l'exponentielle moisn i oméga nt, eh bien ce sera égale à zéro. Mais ça, ce n'est vrai évidemment que si n est différent de zéro. Il faut que mon point tourne dans le point complexe. Donc si n est différent de zéro, eh bien, je vais obtenir zéro. Si n est égal à zéro, évidemment dans ce cas-là , l'exponentielle moins i oméga nt vaut 1, puisque si n est égal à zéro, d'après cette formule, oméga zéro est égal à zéro. Et donc si j'ai la valeur moyenne de 1, ce sera évidemment égal à 1. Donc, la valeur moyenne de l'exponentielle moins i oméga nt sera égale à 1 si n est égal à zéro. Donc j'aurai ces deux cas qu'il faudra prendre en compte. Donc déjà , on voit que si on prend la valeur moyenne de F de t ici, eh bien je vais avoir la valeur moyenne de Cn exponentielle moins i oméga nt, et tous les coefficients vont tomber, sauf le cas n égal à zéro, et donc la valeur moyenne de F de t, c'est tout simplement C zéro. C'est un peu ce qu'on avait vu quand on avait ajusté la fonction. Donc C zéro est égal à la valeur moyenne de F de t. Donc voilà déjà un des coefficients de Fourier. Comment trouver les autres? Eh bien, pour ça, on va simplement multiplier la fonction F de t par une exponentielle i oméga lt. oméga lt est défini comme oméga nt, c'est-à -dire l fois 2 pi sur T, et on va voir ce qu'on obtient. Donc si je prends F de t fois exponentielle i oméga lt, eh bien je vais évidemment avoir une somme sur n de Cn fois exponentielle moins i oméga lt fois exponentielle i oméga lt, et ça, ça me donne une somme sur n de Cn exponentielle moins i oméga n moins lt, parce que bien sûr, oméga n moins l, par la définition même ici, oméga n moins l, c'est égal à n moins l multiplié par 2 pi sur T, et ça c'est bien le oméga n moins oméga l qu'on voulait avoir ici. Et donc, si maintenant je prends la valeur moyenne de F de t multipliée par exponentielle i oméga lt, eh bien je vais avoir la valeur moyenne ici de l'exponentielle moins i oméga n moins lt, et comme on sait, cette valeur moyenne sera non-nulle, seulement lorsque n est égal à l, et donc la somme va tomber, et le seul terme qui va rester, c'est celui où n est égal à l, et on va trouver dans ce cas-là , Cl fois la valeur moyenne de 1 qui vaut 1. Donc finalement, le coefficient Cl, il est directement égal à cette valeur moyenne. Donc on a, de cette manière, trouvé les coefficients de Fourier en fonction de la fonction F de t. C'est tout simplement la valeur moyenne de F de t multipliée par l'exponentielle ioméga nt pour le coefficient Cn ou donc 1 sur T fois l'intégrale, sur une période de F de t fois cette exponentielle complexe.
