Le cours de cette semaine porte sur la propagation d'un faisceau lumineux en régime linéaire. L'idée sera de poser les bases qui nous seront nécessaires pour passer ensuite au régime non linéaire lors des prochaines semaines. Donc on s'intéressera ici à un faisceau lumineux qui pourra éventuellement porter une impulsion brève, donc il s'agira de s'intéresser à l'évolution spatio-temporelle du signal. Alors nous avons déjà vu lors du premier cours qu'une onde monochromatique, une onde plane monochromatique constituait une solution des équations de Maxwell. Alors ça pourrait paraître comme une solution particulière. On va voir ici que la ces ondes planes monochromatiques peuvent être utilisées pour décrire la solution générale grâce à la transformation de Fourier. Donc nous allons en fait nous intéresser dans cette vidéo à l'équation de propagation dans l'espace de Fourier. Dans un premier temps, nous allons établir l'équation de propagation à l'aide des équations de Maxwell écrites dans l'espace direct, c'est-à -dire en fonction des grandeurs : le champ électrique, et cetera, exprimée en fonction de la position r et du temps t. Donc c'est un calcul que vous avez sans doute déjà fait pour établir ces équations de propagation, cette équation de propagation. On va prendre le rotationnel de la seconde équation de Maxwell ici. Donc j'écris nabla vectoriel, nabla vectoriel E, et donc ce sera égal au rotationnel de moins d b sur d t. Alors le membre, le membre de gauche ici on peut l'exprimer simplement en appliquant la formule du double produit vectoriel. Donc le premier terme ce sera gradient divergence E, et le second terme, le second terme ce sera moins nabla deux, c'est-à -dire moins laplacien E. Pour le membre de droite, on a ici le rotationnel de b qui va apparaître, ou la dérivée par rapport au temps du rotationnel de b. Et comme b est égal à mu zéro h, on va pouvoir l'exprimer simplement en prenant la dérivée par rapport au temps de la dernière équation ici. Donc si je dérive par rapport au temps nabla vectoriel a, je vais avoir la dérivée seconde, de d par rapport au temps avec évidemment le signe moins ici. Donc le membre de droite de mon équation ce sera moins mu zéro fois la dérivé seconde de d par rapport au temps. d on l'a ici. Donc le déplacement électrique c'est la somme de epsilon zéro E plus P, donc j'aurai moins mu zéro epsilon zéro qui vaut un sur c deux. Donc moins un sur c deux fois la dérivé seconde du champ électrique par rapport au temps. Et puis moins mu zéro que je choisis d'écrire moins un sur epsilon zéro c deux, multiplié par la dérivée seconde de la polarisation par rapport au temps. Donc cette équation de propagation on va la reformuler en mettant dans le membre de gauche tous les termes qui concernent le champ électrique E, et dans le membre de droite ceux qui concernent la polarisation, c'est-à -dire le terme source qui pourra être aujourd'hui une polarisation linéaire, mais la semaine prochaine une polarisation non linéaire. Donc je vais changer le signe de l'équation, donc j'aurai laplacien E, moins gradient divergence E. Et puis donc le terme en moins un sur c deux, d deux E sur d t deux que je passe dans le membre de gauche, mais comme j'ai changé de signe ça reste moins un sur C deux, d deux E sur d t deux. Et donc ça ce sera égal à un sur epsilon zéro c deux, d deux P sur d t deux. Alors cette équation de propagation, on va la réutiliser de nombreuses fois dans ce cours. Une difficulté qu'on va rencontrer, c'est que c'est une équation de différentielle du second ordre. C'est un type d'équation qui n'est pas toujours facile à résoudre. On va voir qu'il existe diverses méthodes pour résoudre cette équation, soit en passant à l'espace de Fourier, comme on va le faire tout de suite, soit en utilisant des approximations qui nous permettront de ramener cette équation à une équation du premier ordre. Alors commençons par écrire l'équation de propagation, et tout d'abord les équations de Maxwell dans dans l'espace de Fourier. Donc ce que ça veut dire c'est qu'on va utiliser ce qu'on a vu la semaine dernière. C'est-à -dire qu'on va écrire le champ électrique E de r et de t, à l'aide de du champ de la transformée de Fourier, c'est-à -dire e de k et de oméga. Donc on dira que ce champs e de k et de oméga est écrit dans l'espace réciproque ou dans l'espace de Fourier en fonction du vecteur donc k et de la fréquence ou la pulsation oméga. Alors est-ce que c'est une transformée de Fournier ou une transformée de Fourier inverse? Mathématiquement vous voyez qu'on a ici, on a ici un signe moins, donc ça veut dire que E de t sera la transformée de Fourier de E de oméga. Mais par contre E de r sera la transformée de Fourier inverse de E de k, puisqu'on a ici un plus. Donc ça ce sera pas très intéressant pour nous. On préfèrera dire que le champ dans l'espace direct ce sera E de r et de t, et puis dans l'espace de Fourier ce sera E de k et de oméga et que les deux grandeurs seront reliées par une transformation de Fourier. Ce signe moins est inévitable, puisque quand on a une onde progressive qui se propage dans le sens des z positifs et bien on a évidemment ce signe moins. Donc on va plutôt utiliser cette terminologie en disant que le champ électrique E de k et de oméga est écrit dans l'espace de Fourier ou dans l'espace réciproque. Donc ça c'est une généralisation de ce qu'on a vu la semaine dernière. Simplement il faudra comprendre qu'ici on a une intégrale quadruple puisqu'on doit intégrer sur la fréquence oméga mais également sur k x, k y et k z. Donc on a effectivement une quadruple intégration à faire pour passer de e de k et de oméga à E de r et de t. Alors après on va pouvoir appliquer ce qu'on a vu la semaine denière, c'est-à -dire que dans l'espace de Fourier, une dérivée par rapport au temps qu'on avait dans l'espace direct va simplement s'écrire moins i oméga dans l'espace de Fourier. De la même manière une dérivée par rapport à x, on voit ici que le, on va avoir i k x x. Donc si je dérive par rapport à x, il y aura un facteur i k x qui va sortir. Donc une dérivé par rapport à x, ce sera simplement une multiplication par i k x dans l'espace de Fourier. Et donc le vecteur nabla qui est constitué des trois composants d sur d x, d sur d y, d sur d z, et bien ce sera i k x, i k y, i k z. En d'autres termes, on pourra remplacer nabla directement par i k. Et donc on voit que nos équations de Maxwell dans l'espace de Fourier, et bien le nabla ici ça va simplement devenir i k scalaire d. La dérivé par rapport au temps, ce sera moins i oméga. Donc ici on va avoir i oméga b. Dans le membre de gauche, je vais pouvoir remplacer nabla vectoriel par i k vectoriel et cetera. Vous voyez qu'on va comme ça se débarrasser complètement de ces équations différentielles et avoir un simple système de quatre équations. Alors on a à chaque fois i qui apparaît, dans tous, à chaque fois dans le membre de gauche et de droite de toutes ces équations, qu'on va simplifier par i. Et finalement on aura un système de quatre équations, donc ce sera k scalaire d égal zéro. k vectoriel E égal oméga b et cetera. Voilà comment s'écrivent les équations de Maxwell dans l'espace de Fourier. C'est un simple système de quatre équations.
