Bonjour. Cette semaine, nous allons nous intéresser au doublage de fréquence, qui est le premier effet d'optique non-linéaire ayant été observé seulement un an après l'invention du laser. Le doublage de fréquence est encore appelé génération de seconde harmonique, et est un effet d'optique non-linéaire du second ordre et dans cette première vidéo, nous allons passer en revue les différents processus non-linéaires du deuxième ordre. Nous allons donc nous intéresser aux termes non-linéaire d'ordre deux, c'est-à -dire ceux qui résultent de la polarisation p deux de t, qui va être proportionnel au carré du champ électrique. Je rappelle que ce terme existera dans les matériaux qui possèdent un tenseur susceptibilité d'ordre deux, khi deux, c'est-à -dire des milieux qui sont non centro-symétriques, ou en d'autres termes, qui ne possèdent pas de centre d'inversion. Pour voir ces différents effets, on va supposer qu'on a dans notre matériau la superposition de deux ondes planes monochromatiques de fréquence oméga un et oméga deux donc on a un champ électrique e de t qui s'écrit sous la forme de ces deux termes, donc un terme qui oscille à la fréquence oméga un et un terme qui oscille à la fréquence oméga deux. On va regarder les termes qui résultent de l'élévation au carré du champ électrique. Je prends ce champ électrique, je l'élève au carré, et ça va nous donner évidemment un grand nombre de termes et je vais simplement mettre en exergue un certain nombre de termes représentatifs du développement de ce carré. On aura évidemment parmi tous ces termes le carré du premier terme, e un exponentiel moins i oméga un t, donc si j'élève au carré avec le facteur deux ici, je vais avoir e un au carré divisé par quatre multiplié par exponentielle moins i oméga un t au carré, ce qui donne l'exponentielle moins i deux omégas un t et donc, c'est une polarisation qui va osciller à la fréquence double, à la seconde harmonique, et cette polarisation va rayonner un champ comme on l'a vu à la même fréquence, donc à la fréquence deux oméga un, donc on aura un processus de doublage de fréquence et processus qu'on pourra aussi appeler génération de seconde harmonique, ou en anglais, second harmonic generation. Un autre terme qui va intervenir, c'est celui où on va faire des doubles produits. Par exemple, je pourrais multiplier e un exponentielle moins i oméga un t par e deux exponentielle moins i oméga deux t. Avec le double produit, au lieu du dénominateur un quart, j'aurai deux fois un quart, donc un demi, et j'aurai donc E un, E deux, divisé par deux, multiplié par exponentielle moins i oméga un t fois exponentielle moins i oméga deux t, ce qui va nous donner, selon les propriétés de l'exponentielle, exponentielle de moins i oméga un plus oméga deux t. On aura ici un processus d'addition de fréquences puisqu'on aura cette nouvelle fréquence, oméga un plus oméga deux, qui va apparaître dans la polarisation non-linéaire, en anglais on parlera de sum frequency generation. Enfin, un dernier terme qu'on peut considérer, c'est celui où on fait toujours un double produit, mais on fait un double produit entre e un exponentielle moins i oméga un t et le complexe conjugué ici, E deux étoile, exponentielle plus i oméga deux t. Donc ça va nous donner, cette fois-ci, E un exponentielle plus i oméga deux t E deux étoile divisé par deux multiplié par exponentielle moins i oméga un t fois exponentielle plus i oméga deux t, donc j'aurai exponentielle de moins i oméga un moins oméga deux t. Vous voyez qu'on fait apparaître cette fois-ci la fréquence différence, donc ce sera de la différence de fréquence. En anglais, on dira difference frequency generation. Voilà les trois types de processus qui pourront intervenir quand on mélange deux champs monochromatiques. Pour illustrer ce phénomène de différence de fréquence, on peut faire une parenthèse en considérant ce qu'on appelle le phénomène de Moiré, qui se produit quand on superpose deux grilles périodiques comme représenté dans cette image. J'ai deux grilles qui ont exactement la même période, je vais déplacer l'une par rapport à l'autre, et vous voyez que selon la position relative des deux grilles, j'aurai soit une obscurité totale lorsque les deux grilles sont en opposition de phase, et qu'aucune lumière ne peut passer au travers des deux grilles, dans d'autres positions au contraire, quand elles sont en phase, la lumière pourra passer. Vous voyez que selon la phase relative entre les deux grilles j'aurai obscurité ou au contraire, un peu de lumière qui passe. Maintenant, si j'incline une des grilles par rapport à l'autre, ce qui va se passer, c'est que la position verticale où les deux grilles seront en phase va évoluer et on aura un battement entre les deux grilles, c'est précisément ce qu'on appelle les Moirés. Ça peut se produire quand vous avez par exemple deux rideaux, ou un pli entre deux pans d'un rideau ou alors, les deux balustrades d'un pont qui vues à une certaine distance n'auront pas la même période, et donc vont vous donner ce phénomène de battement caractéristique, une des caractéristiques de ce battement c'est qu'en déplaçant un tout petit peu la grille, j'aurai un déplacement important de ce battement qu'on observe ici à plus basse fréquence. Alors on peut l'interpréter comme un phénomène de différence de fréquence, comme celui qu'on vient de voir tout à l'heure en optique non-linéaire, simplement il s'agit ici de fréquences spatiales. Si je considère la première composante de Fourier de chacune de mes deux grilles, je vais avoir un cosinus k un r selon le vecteur d'onde k un pour la grille qui avait des traits parfaitement verticaux, donc correspondant à la grille ici à droite, et un terme en cosinus k deux r pour celle qui fait un léger angle avec des traits qui sont, comme ceci, perpendiculaires au vecteur k deux. Quand j'incline la grille, je vais changer la projection du vecteur k deux selon l'axe vertical. Le signal qui va traverser la superposition de ces deux grilles, ce sera simplement proportionnel au produit de ces deux consinus que je pourrais écrire en notation complexe sous cette forme-là , et si je développe ce produit je vais avoir comme tout à l'heure des termes avec une addition de fréquence spatiale, c'est-à -dire une addition des vecteurs d'onde et puis un terme avec une différence des vecteurs d'onde, c'est-à -dire que dans le signal qu'on va observer ici, dans cette partie de l'écran, on aura à la fois quelque chose qui va osciller spatialement beaucoup plus vite que les grilles initiales, mais qu'on ne va pas voir parce que ça oscille trop vite, et puis un autre terme, qui est celui qui m'intéresse, qui va osciller à une plus basse fréquence spatiale, à la fréquence k un moins k deux que vous avez représentée ici. C'est exactement ce qu'on voit, si je change la projection du vecteur k deux, je vais pouvoir changer la longueur du vecteur k un moins k deux, et évidemment plus k un moins deux est grand, plus le vecteur d'onde résultant est grand, et plus la période spatiale du battement qu'on a ici est petite. À l'inverse, si je diminue la projection de k deux selon l'axe vertical, je vais diminuer la valeur de k un moins k deux et j'aurai une période de battement plus grande. Ce phénomène est dans le domaine spatial l'analogue de ce qu'on a dans le domaine temporel pour la différence de fréquences; au passage, on remarque que quand on va avoir de l'addition ou de la différence de fréquence entre deux faisceaux lumineux qui ne sont pas colinéaires, on aura le même phénomène que celui qu'on voit ici pour les vecteurs d'onde, c'est-à -dire que l'onde induite va se propager dans une nouvelle direction, qui sera k un plus k deux pour de l'addition de fréquence et puis, k un moins k deux pour de la différence de fréquence. Résumons les différents processus non-linéaires du deuxième ordre qu'on pourra rencontrer. Pour cela, j'ai représenté dans ce plan à deux dimensions avec oméga un et oméga deux les différents processus. Le premier d'entre eux, le plus général, c'est l'addition de fréquences, celui où on va faire oméga un plus oméga deux qui va nous donner une nouvelle fréquence oméga, qui sera égale à oméga un plus oméga deux. C'est le plus général parce que, dans ce phénomène d'addition de fréquences, oméga un et oméga deux peuvent prendre n'importe quelle valeur. En particulier, on parlera d'addition de fréquences quand oméga un et oméga deux sont positifs, mais on peut parfaitement imaginer que oméga deux soit négatif, comme on l'a vu tout à l'heure quand on a développé les différentes composantes complexes du champ électrique, dans ce cas on a oméga un moins valeur absolue de oméga deux, qui correspond à ce même terme ici, oméga un plus oméga deux, donc c'est un point que j'ai représenté ici pour oméga un positif et oméga deux négatif, et qui correspond au phénomène qu'on a appelé différence de fréquence. On peut évidemment considérer un cas particulier où les deux fréquences, oméga un et oméga deux sont identiques, je les appelle oméga donc ça correspond à la diagonale ici, donc c'est tout simplement le phénomène de doublage de fréquence où on obtient une fréquence ici égale à deux oméga. Plus exotique, on peut considérer le cas où oméga deux est égal à moins oméga un. C'est-à -dire qu'on fait la différence de fréquence entre oméga et lui-même pour obtenir finalement une fréquence nulle. Ça correspond évidemment à cette ligne ici, correspondant à l'équation oméga deux égale moins oméga un, et c'est un phénomène qu'on appelle le redressement optique, c'est-à -dire qu'il va vous produire une polarisation statique à partir d'un champ oscillant. Par exemple, si je fais un petit dessin, ça veut dire que si vous avez un matériau qui possède une réponse non-linéaire d'ordre deux, donc un terme en khi deux, et si on envoie dans ce matériau une onde sinusoïdale qui oscille à la fréquence oméga, je vais pouvoir mesurer une tension électrique aux bornes de ce matériau. Il y aura un champ statique induit dans le milieu et donc une différence de potentiel qui apparaîtra aux bornes de ce matériau, rappelez-vous que le milieu est non centro-symétrique, donc évidemment il n'y a pas de centre d'inversion, ce qui peut expliquer qu'on ait une tension statique continue dans ce milieu. On parle de redressement optique parce que, à la manière d'un redresseur, d'une diode qui en électronique va vous redresser un signal oscillant, de la même manière, ici, vous allez redresser le champ oscillant associé à votre faisceau lumineux à la fréquence oméga pour produire un champ statique. J'ai parlé d'un phénomène exotique, mais il a quand même des applications notamment dans le cas où vous utilisez non pas un champ continu oscillant mais une impulsion brève, dans ce cas ce phénomène va vous permettre de reproduire l'enveloppe de l'impulsion brève, ce qui est une des méthodes de génération de rayonnement dans le domaine de l'infrarouge lointain. Dernier effet qui est aussi un phénomène qui formellement est un processus non-linéaire du second ordre, en tout cas qui résulte de khi deux, c'est l'effet électro-optique, celui où on va mélanger une fréquence oméga avec une fréquence nulle, donc ça correspond par exemple à l'axe des abscisses ici, c'est ce qu'on appelle l'effet électro-optique, et dans ce cas on va produire une polarisation à la même fréquence oméga que celle de l'onde incidente. Si je fais un dessin, vous allez avoir un milieu non-linéaire dans lequel vous allez appliquer un champ électrique que je vais appeler E zéro, donc c'est le terme ici qui a une fréquence nulle, donc c'est un champ statique, et dans votre milieu vous allez propager une onde électromagnétique de fréquence oméga, et ce que vous allez trouver c'est que vous allez avoir une polarisation alors vous aurez bien sûr une polarisation linéaire dans ce milieu qui va être responsable de l'indice de réfraction, mais vous aurez aussi une polarisation p deux de t qui sera proportionnelle au champ E de t, au champ oscillant E de t, mais qui sera aussi proportionnelle à E zéro. Ca, ça veut dire que vous allez modifier votre indice de réfraction et donc que votre indice de réfraction va dépendre de la fréquence oméga mais également du champ statique e zéro. C'est ce qu'on appelle l'effet Pockels, c'est une façon de modifier l'indice de réfraction d'un milieu sous l'action d'un champ statique, en fait on va souvent induire une biréfringence dans le milieu, alors je reviendrai sur la biréfringence dans une prochaine vidéo mais on va donc induire une anisotropie dans le milieu et une modification de l'indice de réfraction selon un certain axe et cet effet Pockels sera très utile par exemple pour commuter des faisceaux lumineux si on veut modifier la transmission de ce dispositif, si on le place entre polariseurs croisés, et on pourra ainsi contrôler la puissance transmise par le dispositif d'un faisceau lumineux. Voilà , on a vu l'ensemble des effets non-linéaires d'ordre deux. Le dernier effet, évidemment, par rapport au champ électrique de fréquence oméga est plutôt un effet linéaire, il est proportionnel au champ électrique, mais tous ces effets résultent de la réponse non-linéaire khi deux du matériau et cette semaine, nous allons nous intéresser, comme je l'ai dit, au processus de doublage de fréquence.
