En este vídeo presentaremos un ejemplo de una variable aleatoria continua en el contexto de telefonía móvil. Después de observar un gran número de clientes, una empresa de telefonía móvil ha concluido que la duración de una llamada, en horas, para un usuario seleccionado al azar es una variable aleatoria continua, "X" y ha estimado la función de densidad de probabilidad de dicha variable aleatoria "X". A continuación, enunciaremos algunas de las características básicas de la variable aleatoria "X". Primero, el rango de la variable "X", que es el intervalo " [0,1] " de los números reales y, segundo, la función de densidad de probabilidad de "X", "f sub X (x)", que es una función definida por "f sub X (x)" igual a dos menos dos "x", para "x" mayor o igual que cero, menor o igual que uno. La gráfica correspondiente a esta función de densidad de probabilidad aparece a continuación. Con la información que tenemos de la variable aleatoria "X", queremos a continuación hablar acerca del valor esperado o media de la variable "X", la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria "X" y, por último, calcular algunas probabilidades de interés relacionadas con la variable aleatoria "X". Comencemos con el valor esperado. Como sabemos, el valor esperado de una variable aleatoria "X" es una medida de tendencia de la variable. Formalmente, se define como el promedio ponderado de los valores que toma la variable por la probabilidad de que la variable aleatoria tome cada valor. Para el caso continuo, tenemos que el valor esperado de "X" es igual a la integral sobre el rango de "X" de "x" por "f sub X (x) dx". En el caso específico que nos ocupa, el valor esperado de la variable aleatoria "X" estará dado por "E(X)" igual a la integral entre cero y uno de "x" de "f(x) dx", que es igual a la integral entre cero y uno de "x" por dos menos dos "x" "dx". Realizando completamente esa integral obtenemos que el valor esperado de "X" es igual a "mu sub X" es igual a un tercio. Este valor se puede interpretar de la siguiente forma. Si tomamos un usuario al azar de dicha compañía y durante muchas semanas registramos la duración de cada una de las llamadas realizadas por dicho usuario, esperaríamos que, en promedio, la duración de las mismas durante las semanas observadas sea del orden de un tercio de hora, es decir, de 20 minutos. En cuanto a la varianza y la desviación estándar, debemos recordar igualmente que la varianza de una variable aleatoria es una medida sobre el grado de dispersión de la variable, es decir, sobre qué tan concentrados están sus valores alrededor de la media. Sabemos que para el caso continuo, la varianza se define formalmente, como varianza de "X" igual a "sigma sub X" al cuadrado. Es igual al valor esperado de "X" menos "mu sub x" al cuadrado, que es igual a la integral sobre el rango de "X" de "x" menos "mu sub X" al cuadrado por la función de densidad "f sub X (x) dx". La expresión anterior no es otra cosa que el promedio ponderado del cuadrado de la diferencia entre cada valor que toma la variable aleatoria y el valor esperado de la variable aleatoria "mu sub X", ponderado por la probabilidad de que la variable aleatoria tome cada uno de los valores de su rango. También sabemos que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la varianza, es decir, "sigma sub X" es igual a la desviación estándar de "X", es igual a la raíz cuadrada de la varianza de "X". Para el caso específico que estamos trabajando, la varianza de "X" se calcula por, varianza de "X" es igual a la integral entre cero y uno de "x" menos "mu sub X" al cuadrado por "f sub X (x)", es igual a la integral entre cero y uno de "x" menos un tercio al cuadrado por dos menos dos "x" "dx". Resolviendo esta integral completamente obtenemos que la varianza de "X" es igual a uno sobre 18. Concluimos entonces que la varianza de la variable aleatoria "X" es un 18avo de horas al cuadrado, que es igual a 0.055 horas al cuadrado y, por tanto, obtenemos también que la desviación estándar es igual a "sigma sub X", igual a la raíz cuadrada de la varianza de "X", es igual a la raíz cuadrada de un 18avo, es igual a 0.23 horas, es igual a 13.8 minutos aproximadamente. Vamos a hablar ahora de la función de distribución acumulada. Recordemos primero que la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua corresponde a la concentración de la probabilidad de la variable aleatoria en cada valor de su rango. En el contexto de las aplicaciones, es de especial interés calcular la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor que se encuentre en un segmento dado de su rango, la cual estará dada por la integral de la función de densidad de la variable en el segmento correspondiente, tal como se ilustra en la gráfica que aparece a continuación. Es de interés igualmente calcular la probabilidad de que una variable aleatoria no supere cierto valor o, equivalentemente, que tome un valor inferior o igual a determinado valor. En el caso de la variable aleatoria que estamos analizando, nos interesaría calcular, por ejemplo, la probabilidad de que el tiempo de una llamada sea inferior o igual a diez minutos, es decir, un sexto de hora. ¿Cómo calcular dicha probabilidad? Simplemente integramos la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria "X" entre los límites del intervalo de interés, es decir, el intervalo menos infinito, un sexto, obteniendo la siguiente expresión. Probabilidad de que "X" sea menor o igual que un sexto es igual a la integral entre menos infinito y un sexto de dos menos dos "x", "dx". Pero como el rango de la variable aleatoria comienza en cero, es igual a la integral entre cero y un sexto de dos menos dos "x" "dx", cuya integral calculada es igual a 0.305. En general, para una variable aleatoria continua, la probabilidad de que "X" sea menor o igual a un valor específico "X" se conoce como la función de distribución acumulada de la variable aleatoria "X" y está dada por "F sub X (x)" igual a la integral entre menos infinito y "x" de "f sub X (t) dt". Para el caso que nos ocupa, la función de distribución acumulada de la variable aleatoria "X" está definida como se muestra a continuación. "F sub X (x)" es igual a la integral entre cero y "x" de dos menos dos "t", "dt"; es igual a dos "t" menos dos "t" cuadrado sobre dos, evaluada entre cero y "x", lo cual nos da igual a dos "x" menos "x" cuadrado, que es exactamente la función de distribución acumulada de la variable aleatoria "X" para "x" mayor o igual que cero, menor o igual que uno. Algo muy importante a resaltar es que la derivada de la función de distribución acumulada de una variable aleatoria "X" es igual a la función de densidad de probabilidad de la variable, tal como se comprueba en el caso que estamos analizando, puesto que la derivada de la función de distribución acumulada de la variable aleatoria "X" con respecto a "x" es igual a la derivada de dos "x" menos "x" al cuadrado, "dx"; es igual a dos menos dos "x", que es exactamente igual a la función de densidad de "X" para "x" en el intervalo cero, uno. La gráfica correspondiente de la función de distribución acumulada "f sub X" de la variable aleatoria "X" se presenta a continuación. Observemos en la gráfica que para una variable aleatoria continua, la distribución de probabilidad acumulada es una función igualmente continua, no decreciente. Por último, la compañía de telefonía tiene interés en conocer cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria "X" tome un valor superior o igual a 30 e inferior o igual a 45 minutos. Primero, debemos expresar los límites en las mismas unidades de la variable, obteniendo que estos son un medio de hora y tres cuartos de hora. Haciendo uso de la función de distribución acumulada, se calcula la probabilidad solicitada como sigue. La probabilidad de que "X" sea mayor o igual que un medio y menor o igual que tres cuartos, es igual a la función de distribución acumulada "X" evaluada en tres cuartos menos la función de distribución acumulada de "X" evaluada en un medio. Realizando los cálculos correspondientes, llegamos a que esa probabilidad es igual a tres 16avos, que es igual a 0.1875.