[SON] [AUDIO_VIDE] Bonjour. Dans cette séance 7 du cours numéro 1 nous allons voir un très joli théorème de probabilité qui s'appelle le théorème de Borel-Cantelli et qui concerne en partie des suites d'évènements aléatoires indépendants. Donc c'est un peu une application, enfin, un développement autour de l'indépendance dont on verra beaucoup d'applications en fait dans un cours ultérieur lié aux convergences de suites de variables aléatoires. Je vous rappellerai à ce moment là l'utilisation du théorème de Borel-Cantelli, mais je trouve que c'est intéressant de le voir dès maintenant, on a tous les moyens mathématiques de le prouver. Donc voilà le contexte, on se donne une suite An d'évènements aléatoires. Pour l'instant je ne suppose rien sur ces évènements aléatoires. Ce qui nous intéresse c'est de calculer, de connaitre la probabilité de réaliser une infinité de An alors première chose, bon vous l'avez vu dans la séance de rappel sur les Ensembles, la théorie des Ensembles, mais on va le revoir ici, comment est-ce qu'on décrit le fait qu'on réalise une infinité de An. donc on va dire que Oméga est dans une infinité de An si et seulement si, dès que je me donne un nombre petit p quel que soit le petit b que je choisis, qu'on peut voir comme u seuil dans cette suite d'évènements An, eh bien je vais toujours pouvoir trouver un n plus grand que p tel que Oméga soit dans An c'est-à -dire quel que soit l'entier que je choisis dans cette suite je pourrai toujours mettre Oméga dans mon An pour n plus grand que cet entier que je me suis fixé. Donc vous voyez que ça, ça se traduit de manière ensembliste, on a vu ou on sait que le quel que soit se traduit par une intersection et il existe par E nul, donc Oméga va être dans une infinité de An si et seulement si Oméga appartient à l'intersection sur tous les entiers p possibles de l'union sur les entiers n plus grands que p des évènements Oméga est dans An. Ce qui veut dire qu'ici on a mis en évidence cet ensemble là intersection sur p de réunion sur n plus grand que p des An. Cet ensemble, donc vous voyez qu'ici on a une réunion dénombrable d'ensembles de notre tribu, d'évènements aléatoires, donc c'est un élément de la tribu et on prend une intersection dénombrable de tels évènements donc c'est encore u élément de la tribu. Donc ici on a bien un évènement aléatoire qu'on appelle la limite sup des An, donc ce qui m'intéresse c'est comment puis-je calculer la probabilité de cette limite sup des An qui me dit que on a une infinité de An réalisés. Deuxième remarque, j'aimerais bien connaitre le complémentaire de cet évènement-là . Donc, dire qu'on est pas dans une infinité de An, c'est exactement dire qu'on est au plus dans un nombre fini de An. Donc le complémentaire de une infinité de An sont réalisés se traduit par le fait que au plus un nombre fini de An est réalisé. Ce qui est équivalent donc au fait que Oméga est dans la complémentaire de la limite sup des An. Alors juste pour jouer un petit peu sur ces sur ces choses-là , sur ces intersections, on va réécrire un peu différemment les choses, donc pour que vous voyez bien cette équivalence là . Dire que Oméga n'est pas dans la limite sup des An. C'est équivalent à dire que Oméga n'est pas dans l'intersection sur p de la réunion sur n plus grand que p des An, c'est la définition de cet ensemble limite sup des An. Et ça c'est la même chose que de dire que Oméga est dans le complémentaire de cette limite sup, intersection sur p de l'union sur n plus grand que p des An complémentaires. Donc ce que vous savez ou que vous avez vu dans la séance rappel sur théorie des Ensembles que le complémentaire d'une intersection c'est la réunion des complémentaires et que le complémentaires d'une réunion c'est l'intersection des complémentaires. Donc ici je vais avoir que Oméga est dans la réunion sur p de l'intersection sur n plus grand que p des An complémentaires. Là c'est, je prends le complémentaire de l'ensemble An. Et ça ça se traduit par le fait que il existe p un entier tel que quel que soit n supérieur ou égal à p Oméga appartient à An complémentaire, ce qui est la même chose que de dire que Oméga n'appartient pas à An. Donc ici vous avez montré qu'il y a un seul petit p tel que si n est plus grand que p Oméga n'est dans n donc Oméga va être au plus dans A0, A1, A2, etc, jusqu'à Ap donc il est au plus dans un nombre fini de An. Donc on a bien montré notre équivalence directement, bien. Maintenant que nous avons bien compris ce que signifiait cet évènement aléatoire limite sup des An, nous allons pouvoir énoncer le théorème de Borel-Cantelli. Ce théorème a 2 parties une première partie qui est vraie pour toute suite d'évènements aléatoires et une deuxième partie qui va concerner uniquement les évènements aléatoires indépendants. Première partie du théorème, elle vous dit que si la série de terme général probabilité de An converge, ici c'est une série à terme positif donc on sait qu'elle converge toujours donc soit vers une valeur finie soit vers plus l'infini. Donc ici on suppose que la série converge au sens où la somme ici est une valeur réelle finie. Et bien, dans ce cas-là , la probabilité de la limite sup des An est égale à 0. Ca veut dire qu'avec probabilité 1 Oméga sera au plus dans un nombre fini de An, on aura seulement un nombre fini de An réalisé. Deuxième partie du théorème, si de plus, on suppose que la suite des évènements aléatoires An est indépendante alors si la série de terme général P de An diverge, eh bien dans ce cas-là la probabilité de la limite sup des An vaut 1. C'est-à -dire qu'avec probabilité 1, une infinité de An va être réalisé. Donc vous voyez que dans le cas où la suite d'évènements aléatoires est indépendante, on a vraiment une dichotomie, soit la suite des P de An converge et la limite sup des An a une probabilité 0, soit la série de terme général P de An diverge et la limite sup de An a pour probabilité 1. Donc on appelle ça un résultat du type loi des 0, 1, on a cette limite sup des An dans le cas où les An sont indépendants, soit elle a une probabilité 0 soit elle a une probabilité 1, il ne peut rien se passer d'autre. Donc nous allons maintenant démontrer ce résultat. Donc ce résultat a 2 parties, la première partie ne fait aucune hypothèse, il va être facile à montrer, la deuxième partie utilise l'hypothèse d'indépendance et vous allez voir que c'est plus délicat à montrer. Donc montrons déjà la première parie du théorème. Donc première partie, là l'hypothèse c'est que la série de terme général probabilité de An est finie. Alors nous voulons calculer la probabilité de la limite sup des An. La Limite sup des An c'est l'intersection sur p du sup sur n plus grand que p des An. Nous allons remarquer ici que cette limite sup s'écrit comme l'intersection sur p des évènements aléatoires Bp où Bp est égal à l'union sur n plus grand que p des An. Donc ce qu'on remarque de manière évidente c'est que la suite Bp indexée par p est une suite décroissante au sens de l'inclusion. Une suite décroissante d'évènements aléatoires. Donc dans ce cas-là , nous avons vu dans les propriétés des probabilité, que la probabilité de l'intersection de ces Bp est égale à la limite en p, limite décroissante je peux mettre entre parenthèses une flèche de décroissance des probabilités de Bp, je vous rappelle que cette propriété est vraie pour les limites décroissantes. Si on regarde la probabilité de l'intersection d'évènements aléatoires qui sont décroissants ça va être la limite des probabilités des ces évènements et si on regarde la probabilité d'une union d'évènements aléatoires qui forment une suite croissante, là , ça va être une suite croissante des probabilités de ces évènements. Donc je vous renvois à la séance 5 pour ça. Maintenant il faut que j'écrive ce que c'est que la probabilité de Bp. Donc ça c'est la limite en p quand p tend vers l'infini de la probabilité de l'union sur n plus grand que p des An. Alors, là , je ne sais rien sur mes événements aléatoires An, sauf que là , ici, j'en ai une famille dénombrable, et donc, on a vu dans la séance 5 que la probabilité d'une union dénombrable d'événements, c'est toujours plus petit que la somme des probabilités de ces événements. Donc, ça, ça va être inférieur ou égal à la limite quand P tend vers l'infini, de la somme, pour n supérieur ou égal à p, des probabilités de An. Eh bien, vous voyez que cette quantité-là , que je souligne en rouge ici, c'est le reste de la série de terme général, probabilité de An. Or, nous avons fait l'hypothèse, que j'ai rappelée, que la série de terme général probabilité de An converge, donc, on sait que ça entraîne que le reste tend vers 0, donc cette limite, ici, est égal à 0. Donc, on a une probabilité qui est majorée par 0. Ça, ça entraîne bien que la probabilité de lim sup de An est égal à 0. Nous avons montré la première partie du théorème de Borel-Cantelli. Alors, la deuxième partie est un petit peu plus subtile. Donc, ici, on suppose d'une part que les An sont indépendants, et d'autre part, on suppose que la série de terme général, probabilité de An est égal à plus l'infini. Nous allons, pour l'instant, nous fixer un m entier, plus grand que p et on va calculer la probabilité de l'union de n égale p, à m, des An. Alors, vous voyez que nous, on a une hypothèse sur l'indépendance des événements aléatoires, on a vu que ça, c'était lié au calcul, à une caractérisation de la probabilité de l'intersection, d'une famille, de toute famille finie de ces événements aléatoires. Donc, quand vous avez comme ici, une probabilité de réunion à calculer, il faut avoir un réflexe, il faut se ramener à un calcul d'intersection, et ce qu'on a rappelé toute à l'heure, c'est que le complémentaire d'une réunion, c'est une intersection des complémentaires. On vu que si des événements aléatoires sont indépendants, leurs complémentaires aussi le sont. Donc, vous voyez le réflexe ici, est de non pas calculer la probabilité de cette réunion d'événements aléatoires An, mais de se ramener au calcul de la probabilité du complémentaire. Donc, ça, on sait que c'est 1 moins la probabilité du complémentaire de l'union de n égale p, à m, de An. Or, j'écris ce que vaut ce complémentaire, donc le complémentaire de l'union, c'est l'intersection de n égale p, à m, de An complémentaire. Et là , on est content parce qu'on utilise l'indépendance, donc absolument indispensable, pour écrire que cette probabilité de l'intersection, ici, c'est le produit de n égale p, à m, des probabilités de An complémentaire. Donc, vous voyez ici, j'ai pris une suite quelconque des An, je vous rappelle que les An sont indépendants, dès que je prends une sous-suite finie quelconque de ces An, j'ai la propriété d'indépendance à savoir que probabilité de l'intersection de ces événements ou de leurs complémentaires est égal au produit des probabilités des événements. Bien. Alors, maintenant la probabilité du An complémentaire, je sais l'écrire en fonction de la probabilité de An, c'est 1 moins la probabilité de An. Voilà . Donc, je suis ramenée à cette expression. Alors, maintenant on va utiliser une formule, que je vous laisse démontrer, un petit résultat d'analyse, une petite inégalité, à savoir que 1 moins x, ici, on a 1 moins probabilité de An, on va utiliser le fait que 1 moins x est plus petit que l'exponentielle - x, pour tout x dans 0, 1. On va prendre x égale, ici, P de An. Donc, vous allez avoir que 1 moins P de An est plus petit que e puissance moins P de An, et moi, j'ai un moins devant, ici, donc je vais avoir que moins (1- x) est plus grand que moins e puissance- x. Donc, appliquons ça. Donc, je vais réécrire, je récapitule, j'ai donc que la probabilité de l'union, de n égale p, à m des An, qui est égal à 1 moins le produit de n égale p, à m, de 1 moins P de An, qui va être supérieur ou égal à 1 moins le produit de n égale p, à m, de exponentielle de moins P de An. J'ai utilisé mon inégalité qui est que moins (1- x) supérieur à moins exponentielle- x, pour tout nombre x compris entre 0 et 1, et là , je l'applique x égale P de An, pour tous les n compris entre p et m. Le produit d'exponentielle, c'est une exponentielle de la somme donc, je vais avoir que ma probabilité est plus grande que 1 moins l'exponentielle moins la somme de n égale p, à m, de P de An. Or, qu'est-ce que je sais maintenant, je sais que ma série des P de An diverge, la somme vaut plus l'infini. Donc, ça, ça va entraîner que la limite en m, quand m tend vers l'infini, de la somme de n égale p, p est fixée ici, la somme de n égale p, à m, de P de An, est égal à plus l'infini. Donc, voyez que je vais faire tendre dans mon inégalité m vers l'infini, à gauche, j'ai la probabilité de l'union de n égale p, à m de An, ça, ces événements aléatoires là , que je souligne en rouge, forment une suite croissante en m. Donc, quand m tend vers l'infini, je vais pouvoir appliquer mon axiome, qui me dit que je converge vers la probabilité de l'union pour tout n supérieur ou égal à p des An. Et à droite, je vais avoir 1 moins l'exponentielle de moins la limite, quand m tend vers l'infini de cette série de n égale p An, de P de An et ça, on a vu que c'était plus l'infini, donc la limite de exponentielle moins x quand x tend vers plus l'infini, ça fait 0. Donc, on obtient ça. Une probabilité, c'est un nombre compris entre 0 et 1, donc, si elle est supérieur ou égal à 1, ça entraîne qu'elle est égal à 1. Donc vous voyez qu'on a que la probabilité de l'union pour n plus grand que p de An, est égal à 1. Alors, là , on n'a pas tout à fait fini, nous, je vous rappelle qu'on veut montrer que la probabilité de la limite sup des An vaut 1. Alors, ici voyez ce que j'ai, j'ai mis en évidence un événement aléatoire qui est de probabilité 1, qui est l'événement l'union de n plus grand que p de An vaut 1. Donc, ça, ça m'entraîne que la probabilité du complémentaire de cet événement aléatoire vaut 0. Donc, je vais appeler N indice p, c'est le complémentaire de l'union sur n plus grand que p des An, donc, par définition, c'est l'intersection sur n plus grand que p des An complémentaires. Et donc, ce qu'on sait, c'est que la probabilité de Np est égal à 0. Donc, ça, c'est une définition que je vous dis là , on dit que Np est un ensemble négligeable, pour la probabilité P. parce que sa probabilité est égal à 0. Négligeable, c'est une définition, pour P. Donc, pour chaque p, j'ai mis en évidence un événement aléatoire Np qui est de probabilité nulle. Alors, maintenant, je vous rappelle, nous, on veut calculer la probabilité de la limite sup de An, on veut montrer qu'elle est égal à 1. Donc, en fait, ce qu'on va montrer, c'est que la probabilité du complémentaire de cette limite sup vaut 0. Alors, écrivons ce que cela vaut. On l'a déjà écrit tout à l'heure, à titre d'exercice. Le complémentaire de la limite sup des A n, on a vu ce que c'était, donc je vous renvoie à ce qu'on a fait tout à l'heure, c'était l'union sur p de l'intersection sur n plus grand que p des A n complémentaires. Et, eh bien vous voyez qu'on reconnaît l'intersection sur n plus grand que p des A n complémentaires. Cela, c'est ce que j'ai appelé N p. Donc, ce que je cherche maintenant à calculer, c'est la probabilité de la réunion sur p des N p. Or, on sait que la probabilité d'une réunion, la probabilité de la réunion sur p des N p, comme ici, je ne l'écris jamais, mais on p appartient à grand N, on a une réunion dénombrable. Cela c'est plus petit, on a vu cela dans les axiomes des probabilités de la séance 5, donc plus petit que la somme sur p de probabilités de N p. Or, nous avons vu que chaque probabilité de N p est égale à 0, et la somme est nulle. En fait, vous voyez que cela, cela entraîne que la probabilité de l'union des N p donc, est égale à 0. Ce qu'on peut traduire par le fait qu'une réunion dénombrable d'événements négligeables est un événement négligeable. Sa probabilité est nulle. Donc, si on si remontre maintenant ce qu'on a fait, on a vu que la réunion des N p c'était le complémentaire de la limite sup. Ce que je souligne en vert ici. On a montré que sa probabilité était nulle. Et cela, cela va m'entraîner que la probabilité de la limite sup en n des A n vaut 1. Et nous avons prouvé ainsi le théorème de Borel-Cantelli. Bien. Donc, c'était une preuve assez longue, mais où on voit tous les détails de la preuve. Alors, je voudrais vous montrer sur une application assez percutante, en fait, la force de ce théorème de Borel-Cantelli. Donc, c'est ce qu'on appelle Abracadabra, vous verrez cela un peu ultérieurement. Mais supposons qu'on joue à un jeu de pile ou face infini, avec la probabilité de réaliser pile qui vaut un nombre petit p compris entre 0 et 1. On suppose que les tirages sont indépendants. Et on va fixer un mot de longueur l, donc ici le mot va être fait avec uniquement les lettres P et F qui correspondent aux événements pile ou face. Donc, je vous ai donné un exemple de tels mots. Dans l'exemple ici, vous avez le mot PPFPFFP. Donc, c'est une suite de P et F, qu'on se fixe a priori. Et puis, vous supposez que vous jouez de manière infinie. Donc, ici on fixe la longueur du mot, donc vous voyez que dans l'exemple là , le mot a 7 lettres, donc sa longueur est 7. Donc, plus généralement, on se fixe une longueur petit l. Le mot, je l'appelle grand A, mais en fait les événements aléatoires vont être les suivants. Donc, A 1 cela va être le mot se réalise dans les l premières parties du jeu. A 2, le mot se réalise dans les l parties suivantes, donc des parties l + 1 à 2 l. A 3, cela sera des parties 2 l + 1 à 3 l. Etc. Donc, vous voyez que les événements aléatoires A i vont être traduits par des expériences aléatoires qui sont indépendantes les unes des autres. Parce qu'on ne va pas avoir de chevauchement sur les parties de pile ou face qui réalisent nos événements aléatoires. Comme on suppose que tous nos lancers de pile ou face sont indépendants, cela va entraîner que les événements aléatoires A i sont indépendants. Alors, on peut calculer, de manière très simple, leur probabilité de réalisation. Et, il est facile de se convaincre que la probabilité de réalisation du mot A, quel que soit l'endroit où il est réalisé, cette probabilité va être la même, et ne va dépendre que des lettres du mot et du nombre de lettres. Donc, dans le cas où on a choisi petit p comme probabilité de pile, eh bien, par exemple la probabilité de réalisation de A 1, c'est-à -dire que le mot se réalise dans les l premières parties, cela va être la probabilité que j'ai eu pile la première partie, pile la deuxième, face la troisième, pile la quatrième, face la cinquième, face la sixième, pile la septième. Donc, comme les tirages sont indépendants, ma probabilité cela va être p au carré * (1- p) * p * (1- p) au carré * p, donc vous voyez que c'est p puissance le nombre de fois où j'ai obtenu pile, fois (1- p), le nombre de fois où j'ai obtenu face. On se moque éperdument de ce qui se passe dans les autres tirages de pile ou face, dont les tirages vont être de probabilité 1, puisqu'on n'impose aucune contrainte sur le résultat du jeu. Donc, vous voyez qu'en fait cette probabilité ici ne dépend pas de l'endroit des numéros de parties où j'ai réalisé mon mot. Donc, cela m'entraîne que chaque événement aléatoire a la même probabilité, qui est dans notre exemple ce nombre-là . Donc, vous voyez que j'ai donc des événements aléatoires indépendants, dont les probabilités sont égales, et égales à un nombre strictement positif. Ce qui va m'entraîner que la série de termes générale, probabilité de A n, diverge. Sa somme est plus l'infini, puisque toutes les P (A n) sont le même nombre. Donc, par le théorème de Borel-Cantelli, on sait qu'avec une probabilité 1, eh bien on va avoir une infinité de A n réalisés, puisque la limite sup des A n est réalisée. Ce qui veut dire que le mot A va se réaliser une infinité de fois au cours du jeu. Donc, c'est un résultat très fort. Alors, c'est plus fort si on le traduit avec des exemples. Alors, vous voyez qu'au lieu de prendre un pile ou face et des mots à deux lettres, imaginez maintenant que vous avez 26 lettres, vous avez les lettres de l'alphabet, vous allez pouvoir faire de vrais mots. Bon, on oublie les accents. Et, on va tirer chaque lettre au hasard, de manière uniforme, donc c'est pour cela que je vous ai dit un singe tape au hasard, ou imaginez que vous tapiez au hasard sur, bon le singe on l'a mis sur une machine à écrire, vous vous pouvez écrire sur un ordinateur avec un bandeau sur les yeux. Donc, vous allez taper vos lettres au hasard. Eh bien, ce que cela vous dit c'est qu'avec probabilité 1, si vous vivez une durée de vie infinie, vous écrirez le mot, alors par exemple Abracadabra, une infinité de fois. Mais si votre mot est plus long, par exemple si c'est tout le livre d'À la recherche du temps perdu de Marcel Proust, eh bien ce que le théorème de Borel-Cantelli vous montre, c'est que vous pourrez aussi au hasard le taper une infinité de fois. Donc, cela est assez gratifiant de savoir qu'on peut tous être capables d'écrire À la recherche du temps perdu au hasard. Néanmoins, il faut vivre un temps infini, ce qui est beaucoup plus difficile. Alors, je vais finir cette séance par un petit d'exercice d'application de ce théorème de Borel-Cantelli. Un petit exercice de nature différente, qui s'énonce très simplement. Dans cet exercice, nous allons montrer qu'il n'existe pas de probabilité sur grand N, l'ensemble des entiers naturels, muni de la tribu de ses parties, telle que la probabilité des multiples d'un entier naturel non nul petit p soit égale à 1 / p. Donc, ici dans ma notation, (p. grand N), cela désigne l'ensemble des multiples de petit p. Donc, montrons cet exercice. Donc supposons ici que la probabilité des multiples d'un entier petit p soit égale à 1 / p. Et, on va supposer ici que p est un nombre premier. [AUDIO_VIDE] Je prends maintenant un autre nombre premier q. Et je suppose que q est différent de p. Par hypothèse, on sait que la probabilité des multiples de q, c'est égal à 1 / q. Regardons maintenant ce que vaut l'intersection de l'ensemble des multiples de p et de l'ensemble des multiples de q. Eh bien, pour être multiple à la fois du nombre premier petit p, et du nombre premier petit q, il est nécessaire et suffisant d'être multiple du produit p * q. Cela, c'est un résultat d'arithmétique auquel je vous renvoie. Par exemple, si vous voulez choisir un nombre qui est multiple à la fois de 2 et de 3, il va nécessairement être multiple de 2 * 3 = 6. Donc, vous voyez qu'en écrivant cela, vous allez pouvoir en déduire que la probabilité de l'ensemble des nombres entiers qui sont à la fois multiples de p et de q, puisque c'est la probabilité des multiples de p * q, par hypothèse sur notre probabilité, cela, cela vaut 1 / ( p * q ). Or, 1 / (p * q), c'est aussi égal à ( 1 / p ) * ( 1 / q ), c'est-à -dire à la probabilité de l'ensemble des multiples de p, fois la probabilité de l'ensemble des multiples de q. Et vous voyez ce qu'on vient de montrer, c'est que les événements aléatoires (p. N), l'ensemble des multiples de p, pour p variant dans l'ensemble des nombres premiers. Eh bien, ces événements, aléatoires ici, sont indépendants. Ils sont indépendants et de plus, on connaît leur probabilité. On a supposé que la probabilité de l'ensemble des multiples de petit p, c'est 1 / p. Alors, de plus, la somme sur p nombres premiers, vous voyez ici l'ensemble dénombrable qu'on considère, qui est l'ensemble des indices de notre suite d'événements aléatoires, c'est l'ensemble des nombres premiers. Donc, la somme sur l'ensemble des nombres premiers des probabilités des événements aléatoires multiples de petit p, eh bien, c'est la série sur les petits p nombres premiers des 1 / p. Et cela, il est bien connu que cela diverge, cette série-là diverge. Donc, nous sommes dans les hypothèses d'application du théorème de Borel-Cantelli, puisque notre suite d'événements aléatoires, donc ici vous voyez A p, c'est l'ensemble des multiples de petit p. Notre suite A p est une suite d'événements aléatoires indépendants. Et la série de termes générale probabilité de A p est égale à plus l'infini. Donc, par le théorème de Borel-Cantelli, nous savons que la probabilité de la limite sup de ces A p est égale à 1. Alors, cela veut dire qu'une infinité de ces événements aléatoires A p, qui sont les ensembles multiples d'un nombre premier petit p, une infinité de ces événements aléatoires est réalisée. Cela veut donc dire qu'avec probabilité 1, si cette probabilité P existait, avec probabilité 1, probabilité 1, nous aurions que tout entier est multiple [AUDIO_VIDE] d'une infinité de nombres premiers. Puisqu'on a vu qu'avec probabilité 1, tout entier appartenait à une infinité de A p. Et cela, on sait bien que c'est impossible. Un nombre entier, on connaît sa décomposition en facteurs premiers, on sait qu'il est multiple seulement d'un nombre fini de nombres premiers. Donc, cela c'est impossible, absurde. Et cela termine cet exercice.
