Dans cet exercice nous allons trouver la solution fondamentale de l'opérateur de dérivée d'ordre k, en dimension 1, et étendre la formule à la dimension d. Premièrement on observe que quand k égal à 1, pour cette première question, en dimension 1, il est très facile de trouver la solution élémentaire de dérivée première. En effet, la dérivée première par rapport à x de la fonction de Heaviside, nous savons que c'est égal à la masse de Dirac en zéro. Et donc, H est la solution élémentaire de d sur dx en dimension 1. Nous allons généraliser cette formule en calculant, pour tout k maintenant plus grand que 1, la dérivée de, d'ordre k moins 1, du produit de la fonction x puissance k moins 1 par la fonction de Heaviside. Alors ce calcul est facile à effectuer, en utilisant la formule de Leibniz, pour la dérivée d'ordre k moins 1. C'est égal à une somme pour j égal zéro à k moins 1 du coefficient binomial j parmi k moins 1, multiplié par la dérivée d'ordre j du monome k moins 1, multiplié enfin par la distribution H, dérivée d'ordre k moins 1 moins j. Dans cette somme, vous allez voir que le terme correspondant à j égal k moins 1 est spécial. Donc nous allons l'isoler. Donc considérons d'abord le terme correspondant à j égal à k moins 1. Dans ce cas-là , le coefficient binomial est égal à 1. Ensuite, si nous regardons le monôme x puissance k moins 1, dérivée d'ordre k moins 1, nous trouvons la constante égale à 1 multipliée par la factorielle de k moins 1. Et nous voyons que la fonction de Heaviside, en fait, elle n'est pas dérivée du tout, puisque la dérivée est d'ordre zéro. Quand j égal k moins 1. Donc nous trouvons pour ce terme j égal k moins 1, factoriel k moins 1 multiplié par la fonction de Heaviside. Pour les autres termes, où j allant de zéro à k moins 2, nous trouvons donc le facteur j parmi k moins 1 multiplié par une certaine constante qui dépend à la fois de j et de k, nous allons voir que cette constante n'a pas beaucoup d'importance, multiplié par x à la puissance k moins 1 moins j, qui correspond à la dérivée d'ordre j de x puissance k moins 1. Donc la constante que j'ai mise devant correspond au terme qui apparaît quand on effectue cette dérivée. Et puis, la fonction de Heaviside dérivée une fois, nous savons ce que ça vaut la masse de Dirac en zéro, et donc la fonction de Heaviside dérivée k moins 1 moins j fois est égale à la masse de Dirac en zéro dérivée d'ordre k moins 2, moins j. Et donc nous nous retrouvons avec un objet que nous connaissons déjà , ici, qui est le produit d'un monôme par la masse, des dérivées des masses de Dirac en zéro. Et nous avons vu dans un exercice précédent que si nous avons le produit x puissance m par la distribution de Dirac en zéro dérivée n fois, eh bien ce produit vaut zéro si m est strictement plus grand que n. Ici vous voyez que k moins 1 moins j est strictement plus grand que k moins 2 moins j, puisqu'il est égal à k moins 2 moins j plus 1. Et donc ce terme est toujours nul. Donc ce terme ici est égal à zéro, par un exercice que nous avons déjà traité, et ceci pour tout j compris entre zéro et k moins 2. Ainsi la dérivée d'ordre k moins 1 de x puissance k moins 1 fois la fonction de Heaviside, est égale seulement au premier terme, donc factoriel k moins 1 multiplié par H. Et donc dérivons une fois de plus ce terme, donc calculons la dérivée d'ordre k, de x puissance k moins 1 multiplié par la fonction de Heaviside, et divisons par moins 1, k moins 1 factoriel. Nous trouvons tout simplement la dérivée de la fonction de Heaviside qui n'est rien d'autre que la masse de Dirac en zéro. Et donc, la fonction qui à x associe Ek de x défini comme x puissance k moins 1 divisé par factoriel k moins 1, multiplié par la fonction de Heaviside en x. Eh bien, la solution élémentaire de l'opérateur d sur dx, k. Maintenant nous allons généraliser cette formule en dimension supérieure, on observe très facilement que pour des entiers k 1, k 2, et cetera, kd, on a le calcul suivant: dérivée partielle par rapport à x 1, k moins une fois, composé avec des dérivées partielles similaires, pour toutes les variables x 1, x 2, xd, et cetera. Pour des ordres k 1, k 2, kd, et cetera. Donc cet opérateur-là , appliqué à la fonction Ek 1 que nous venons de définir pour la variable x 1, multipliée par Ek 2 pour la variable x 2, et cetera, jusqu'à Ek indice d, pour la variable xd. Donc cet opérateur appliqué à cette fonction-là , on voit très facilement que, tout étant iii, séparé, autant les opérateurs que les fonctions, nous constatons que ceci est égal à la masse de Dirac au point x 1 est égal à zéro, produit tensoriel avec la masse de Dirac en zéro pour la variable x 2, et cetera. Et enfin, masse de Dirac en xd égale à zéro, et tout ceci, il est très facile de voir que c'est la masse de Dirac en x égal à zéro. Et donc la fonction que nous avons utilisée, à savoir le produit des E, kj, xj, pour j égal 1 à d. Eh bien, la solution élémentaire de l'opérateur que nous avons dans l'exercice, sur Rd.
