Bonjour et bienvenue au cours de thermodynamique. Dans la présentation précédente, nous avons réalisé le bilan énergétique local des milieux continus et nous avons obtenu une relation pour la densité de source d'entropie du milieu. Dans cette partie du cours, nous élaborerons plus sur cette relation, et de plus, à l'aide de cette relation, nous établirons un formalisme thermodynamique, pour l'étude des processus en équilibre. La structure de notre présentation est la suivante : d'abord, nous introduirons la notion des densités de courant et des forces généralisées. Ensuite, nous délibérerons des relations phénoménologiques linéaires entre densités de courant et forces généralisées. Et nous verrons que ces relations sont soumises à certaines contraintes. Ces contraintes sont exprimées par le principe de Curie, par la restriction sur le signe, et par les relations de réciprocité d'Onsager. Finalement, nous appliquerons cette formalise thermodynamique à un milieu continu qui est constitué de r substances fluides. D'abord nous rappelons la relation pour la densité de source d'entropie pi s, que nous avons avons dérivée de la leçon précédente. D'abord, nous rappelons la relation pour la densité de source d'entropie, pi s d'un mélange de r substances fluides que nous avons dérivée dans la leçon précédente. Nous observons que la densité de source d'entropie s'exprime comme une somme de produits. De plus, chaque produit qui apparait dans cette relation, exprime le taux de production d'entropie au sein du système, dû à un processus irréversible spécifique. Par exemple, ces termes expriment le taux de production d'entropie au sein du système d'une réaction chimique. Ces termes expriment le taux de production d'entropie au sein du milieu, dû à la pression visqueuse. Ces termes expriment le taux de production d'entropie dû à la diffusion thermique etc. En général, pour un milieu continu, la densité de source d'entropie peut s'écrire sous la forme suivante. Elle peut s'écrire sous la forme d'une somme de produits. Les quantités qui apparaissent dans ces produits sont classées dans deux catégories. Les quantités de la première catégorie sont identifiées comme les densités des courants généralisés. Pour un mélange de r substances fluides, ces quantités sont : le taux de réaction chimique, la pression visqueuse, la densité de courant d'entropie, les densités de courant des substances chimiques, et la partie déviatorique du tenseur de frottement. Les quantités de la deuxième catégorie sont identifiées comme des forces généralisées. Pour un mélange de r substances fluides, ces quantités sont les affinités des réactions chimiques, ainsi que des termes qui impliquent des gradients de [INAUDIBLE] thermodynamiques. De plus, les densités des courants généralisés et les forces généralisées sont classés selon leur ordre tensoriel. Nous avons alors ji et Fi qui représentent respectivement les densités de courant et forces généralisées scalaires, j alpha et F alpha qui représentent respectivement les densités de courant et forces généralisées vectorielles, Et nous avons finalement jx et Fx qui représentent respectivement les densités de courant et forces généralisées tensorielles. Nous remarquons qu'à l'équilibre, les valeurs de toutes les densités de courant et de toutes les forces sont égales à 0. Nous avons alors que ji à l'équilibre est nul, Fi à l'équilibre est nul etc. De cette manière, la densité de source d'entropie du milieu est égale à 0 à l'équilibre. Maintenant nous considérons que les densités de courant généralisées sont des fonctions des forces généralisées. Selon ce point de vue, les forces généralisées induisent des courants généralisés. Nous avons alors des relations de ce type. Nous avons des fonctions de ce type, et maintenant nous développons ces fonctions en série de Taylor au voisinage d'un état d'équilibre et en approximant au premier ordre. Nous arrivons alors aux relations de ce type. Maintenant nous remarquons que vu que les valeurs de toutes les densités de courant et de toutes les forces sont égales à 0 à l'équilibre, alors ce terme, ce terme, ce terme ainsi que ce terme sont tous égaux à 0. Nous arrivons alors aux relations linéaires entre les densités de courant et les forces généralisées. Nous arrivons aux relations de ce type. Les coefficients Lij, Li alpha et Lix qui apparaissent dans cette relation, sont identifiés comme les coefficients phénoménologiques. Selon les expansions séries de Taylor que nous avons considérées, les coefficients phénoménologiques sont définis comme les dérivées partielles des densités de courant généralisées par rapport aux forces généralisées à l'équilibre. Alors, un coefficient phénoménologique couple une densité de courant et une force généralisée. L'ordre tensoriel des coefficients phénoménologiques dépend des ordres tensoriels de densités de courant de la force qu'ils couplent. Par exemple, si un coefficient phénoménologique couple une densité de courant généralisée scalaire avec une force généralisée scalaire, alors ce coefficient est du caractère scalaire. Si un coefficient phénoménologique couple une densité de courant généralisée vectorielle avec une force généralisée vectorielle, alors ce coefficient est intense, etc. Les coefficients phénoménologiques sont soumis à certaines contraintes. La première contrainte s'exprime par le principe de Curie qui est le suivant : Les causes d'un phénomène ne peuvent pas présenter plus de symétrie que les effets qu'ils provoquent. Ce principe appliqué aux relations linéaires signifie que dans le régime linéaire, les densités de courant et les forces d'ordres tensoriels différents ne sont pas couplées. Pour des systèmes isotropes, nous pouvons démontrer ce résultat rigoureusement à l'aide d'un théorème mathématique à l'aide du théorème de représentation des tenseurs isotropes linéaires. De plus, pour des systèmes isotropes et dans le régime linéaire, les coefficients phénoménologiques sont des scalaires. Nous arrivons alors aux relations suivantes entre les densités de courant et les forces généralisées. Nous avons des couplages entre densités de courant et forces généralisées scalaires, des couplages entre densités de courant et forces généralisées vectorielles et des couplages entre densités de courant et forces généralisées tensorielles. A l'aide de ces relations, la densité de source d'entropie s'écrit sous la forme suivante. C'est-à -dire que la densité de source d'entropie pi s s'exprime comme une forme quadratique. Le deuxième principe de thermodynamique impose une contrainte additionnelle aux coefficients phénoménologiques. Nous avons alors la restriction sur le signe. La condition que pi s soit non négatif, requiert que les matrices des coefficients phénoménologiques, soient définies positives. Pour des systèmes isotropes et dans le régime linéaire, ces conditions sont nécessaires et suffisantes pour la non négativité et la densité de source d'entropie pi s. Par exemple, selon cette condition, les termes diagonaux des matrices des coefficients phénoménologiques doivent être positifs etc. Finalement nous avons encore une contrainte, cette contrainte s'exprime par les relations de réciprocité d'Onsager. En 1939 Lars Onsager a démontré que les matrices des coefficients phénoménologiques sont symétriques. Nous avons alors cette relation de symétrie entre les coefficients phénoménologiques. Selon Onsager, la symétrie est une conséquence de la réversibilité microscopique c'est-à -dire l'invariance vis-à -vis du temps des équations du mouvement à l'échelle microscopique. Pour arriver à ce résultat, Onsager a considéré des densités de courant généralisées qui s'expriment à l'échelle microscopique par des fonctions qui sont paires vis-à -vis du temps et vis-à -vis des vitesses des particules élémentaires. Ensuite Casimir a généralisé ce résultat en considérant en plus des densités de courant généralisées qui s'expriment à l'échelle microscopique par des fonctions impaires vis-à -vis du temps et vis-à -vis des vitesses des particules élémentaires. Nous avons alors la généralisation de Casimir. Désignons par epsilon i et epsilon j respectivement les parités des courants Fi et Fj par rapport au temps. Par exemple, si Fi est pair par rapport au temps et par rapport aux vitesses des particules élementaires, alors epsilon i est égal à 1. Si la densité de courant Fi est impaire par rapport au temps, alors le coefficient epsilon i est égal à moins 1. Les relations de réciprocité prennent cette forme. Par exemple, nous considérons deux coefficients phénoménologiques Lij et Lji. Si ces deux coefficients couplent des densités de courant qui ont les mêmes parités vis-à -vis du temps et vis-à -vis des vitesses des particules élémentaires, alors, ces deux coefficients phénoménologiques, obéissent à une relation de symétrie. Si par contre ces deux coefficients couplent des densités de courant de parités différentes, alors il y aura une relation d'antisymétrique entre ces deux coefficients etc. Et maintenant nous pouvons appliquer cette formalise thermodynamique à un milieu continu qui est de mélanges de r substances fluides simples et isotropes. Nous rappelons la relation pour la densité de source d'entropie pi s pour ce milieu. D'abord, nous allons identifier et classer les densités de courant et forces généralisées. Les densités de courant scalaires sont les taux de réactions chimiques, et la pression visqueuse. Les forces généralisées scalaires sont les affinités des réactions chimiques, et la divergence de vitesse. Les densités de courant vectorielles sont, la densité de courant d'entropie, ainsi que les densités de r substances fluides. Les forces généralisées vectorielles sont l'opposé du gradient de température ainsi que les opposés de ces quantités entre parenthèses qui sont identifiées comme les gradients du potentiel électrochimique des substances fluides. Finalement, la densité de courant tensorielle est la partie déviatorique du tenseur de frottement, et la force généralisée tensorielle, est la partie déviatorique du tenseur de déformation. Voilà les relations phénoménologiques linéaires pour les densités de courant scalaires. De plus, nous avons cette relation de réciprocité concernant les coefficients phénoménologiques qui apparaissent dans cette relation phénoménologique. Selon les relations de réciprocité, Lab est égal à Lba, tandis que Laf est égal à moins Lfa. Et voilà les relations phénoménologiques linéaires pour les densités de courant vectorielles. Concernant les relations phénoménologiques qui apparaissent dans cette relation phénoménologique, nous avons cette relation de réciprocité d'Onsager. Selon cette relation, LsA est égal à LAs, tandis que LAB est égal à LBA, et finalement nous avons la relation phénoménologique linéaire suivante pour la densité de courant tensorielle. Selon cette relation, la partie déviatorique du tenseur de frottement est proportionnelle à la partie déviatorique du tenseur de déformation. Etant donné que notre milieu est isotrope, tous ces coefficients phénoménologiques sont des scalaires. De plus, le coefficient phénoménologique qui apparait dans cette relation phénoménologique, est une quantité scalaire, et il est identifié comme le coefficient de viscosité de cisaillement du mélange. Nous sommes ainsi arrivés à la fin de cette partie du cours de thermodynamique. Dans la prochaine présentation, nous appliquerons le formalisme thermodynamique que nous venons d'établir pour étudier le phénomène de diffusion thermique et chimique. [AUDIO_VIDE]
